Sé que esto es un círculo (¿verdad?) y, entonces, para cada x, hay 2 valores de y (por lo y no es una función de x), pero ¿cómo puedo algebraicamente mostrar esto. Esta es la pregunta:
Si yo raíz cuadrada de ambos lados, me sale:
$$y = \sqrt{4 - x^2} $$
But that seems to get rid of a y answer.
If I reduce it, I get:
$$y^2 = (2+x)(2-x)$$
Pero todavía me siento como que no he algebraicamente demostrado que esto NO sea una función.
Sé que esto es un círculo (¿verdad?)
Sí, eso es correcto. Si usted se muda $x^2$ a del otro lado (en otras palabras, agregar $x^2$ a ambos lados), entonces obtendrá $x^2+y^2=4$, que es el estándar de la ecuación de un círculo centrado en el origen con radio .... Desde un círculo de falla de la Línea Vertical de la Prueba, no es la gráfica de una función.
y así, por cada $x$, $2$ valores de $y$ (por lo $y$ no es una función de $x$)
No, eso no tiene que ser cierto. Lo cierto es que para ALGUNOS valores de $x$ (al menos para un valor, aunque para el círculo tenemos muchos) hay múltiples (dos o más) de los valores de $y$.
Decir, en este caso, algunos de los valores de $x$ tienen varios valores de $y$ que corresponden a ellos. Por ejemplo, si $x=0$, $y^2=4-x^2=4$ y, por tanto,$y=\pm2$, dos valores. Lo mismo es cierto para muchos otros valores de $x$, pero no para todos. A $x=2$ corresponde un único valor de $y$, y para $x=3$ no existen los correspondientes valores de $y$ a todos.
Si yo raíz cuadrada de ambos lados, me sale: $y=\sqrt{4−x^2}$
No, no es cierto. Aprender a ser extra cuidadoso cada vez que intenta tomar las raíces cuadradas! Desde dos números diferentes pueden tener la misma plaza, la correcta consecuencia de $y^2=4−x^2$$y=\pm\sqrt{4−x^2}$. Esto ya indica que para un solo valor de $x$ a menudo se corresponden múltiples (dos) valores de $y$.
Pero todavía me siento como que no he algebraicamente demostrado que esto NO sea una función.
Incluso una sola violación de la función de la propiedad "para cada una de las $x$ (en el dominio) corresponde sólo a una $y$" es suficiente para concluir que una ecuación no define a una función. Así, el ejemplo que mostré anteriormente con $x=0$ es suficiente como prueba algebraica.
Para mostrar que esto no es una función, es suficiente para demostrar que hay dos valores de $y$ que corresponden al mismo valor del $x$. En otras palabras, queremos encontrar dos par $(x,y_1)$ y $(x,y_2)$ que tanto resolverán la ecuación. Esto es, esencialmente, la versión algebraica de la "prueba de línea vertical". En este caso, podríamos considerar el ejemplo de $(0,2)$ y $(0,-2)$.
Algo que por alguna razón, parece no ser enseñado por cualquier profesor de secundaria:
Es que no es cierto en general que $\sqrt{y^2}=y$. La verdadera relación es $\sqrt{y^2}=|y|$.
El símbolo $\sqrt{x}$ es usado para denotar la no-negativo de la raíz cuadrada de un no-número real negativo. Usted puede obtener otra raíz con $-\sqrt x$.
Dicho esto, usted no necesita raíces cuadradas para discutir el problema en su pregunta.
En el caso de la relación $y^2=4-x^2$, no representa una función, porque en una función que debe tener, para cada valor de $x$, un único valor de $y$; y que no es el caso aquí. Por ejemplo, si tomamos $x=0$, $y=2$ $y=-2$ satisfacer la relación.
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