Gödel afirma y demuestra su célebre Teorema de incompletitud (que es una declaración sobre todos los sistemas de axioma). ¿Cuál es su propio sistema del axioma de elección? ¿ZF, ZFC, Peano o qué? Seguramente necesita uno, no?
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JoshL
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Gödel del documento fue escrito en la misma forma, esencialmente, como todos los otros matemáticos de papel. Para demostrar un teorema acerca de un sistema formal no es necesario uno para probar que el teorema dentro de un sistema formal. Gödel argumentó en su documento que el teorema de la incompletitud debe ser visto como una consecuencia elemental de la teoría de números, y que sin duda demostró el teorema de completitud para el mismo nivel de rigor como otros resultados en esa área.
Por supuesto, ahora sabemos que el teorema de la incompletitud que se puede probar en extremadamente débil de los sistemas, tales como PRA (primitiva recursiva de la aritmética), una teoría mucho más débil que la aritmética de Peano. Pero, en el momento en que Gödel escribió su trabajo, la definición de PRA nunca había sido formulado.
Incluso el teorema de Gödel, como dijo en su momento, fue para un determinado sistema formal "$P$" más bien que para la eficaz que los sistemas formales en general, debido a que la definición de una "eficaz sistema formal" aún no había sido formulado de manera convincente. Curiosamente, se tomó bien entrado el siglo 20 antes de que muchos de los que ahora estándar en los conceptos de la lógica se entiende claramente.
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Como una nota a pie de página Carl Mummert es excelente respuesta, vale la pena agregar el siguiente comentario.
Sí, Gödel estaba dando una informal prueba matemática "desde fuera" (por así decirlo) acerca de ciertos sistemas formales. Y sí, él no es explícito acerca de lo que exactamente su prueba requiere que ir a través de.
Sin embargo, era muy importante para él en el momento en que su prueba utilizado sólo muy elemental razonamiento constructivo que sería aceptable, por ejemplo, intuitionists que no aceptan la clásica de las matemáticas, y de igual manera a Hilbertian finitists que puso aún más los límites estrictos de lo que cuenta como bastante indiscutible razonamiento matemático. (Después de todo, él no podía hacer frente con eficacia al programa de Hilbert mediante el razonamiento de que no sería aceptado como hegemónico por un Hilbertian!)
Así que a pesar de Gödel no establece explícitamente qué es exactamente lo que se supone, se supone que vamos a ser capaces de ver por la inspección, que nada de preocupante infinitary o de otra sospecha que está pasando, y que-a pesar de su construcción de la sentencia de Gödel para su sistema de $P$ es maravillosamente ingenioso -- una vez que descubrir el truco, el razonamiento en el que se muestra que la oración es formalmente indecidible en $P$ es como uncontentious como pueden ser (incluso por las luces de muy polémico intuitionists o finitists!), así cae la forma corta de lo que se requeriría el empuje de los clásicos de ZF (o incluso clásico PA) a formalizar.
