Criterio de jacobiano para variedades proyectivas

Question

Deje $P\in Y=Z(f_{1},\cdots ,f_{s})$ ser una variedad proyectiva. A continuación, $Y$ es no singular en $P$ si y sólo si el rango de la matriz $\Vert\partial f_{i}/x_{j}(P)\Vert=n-\dim{Y}$.

Sé de la declaración para afín variedades, y estoy tratando de demostrar que para variedades proyectivas. Esto es lo que tengo hasta ahora.

Si $P\in \mathbb{P}^{n}$ $P$ es de algún conjunto abierto $U_{i}=\{(a_{0},\cdots ,1,\cdots a_{n})\in\mathbb{P}^{n}\}$ cuando la $1$ aparece en la $i^{th}$ spot. WLOG asumimos $i=0$ es este caso. Por lo $X\cap U_{0}$ es una variedad afín. Definido por $$X\cap U_{0}=Z(f_{1}(1,x_{1},\cdots x_{n}),\cdots ,f_{s}(1,x_{1},\cdots x_{n}))$$ Dado que este es afín tenemos que $X\cap U_{0}$ es nonsingular fib y sólo si el jacobiano criterio se satisface. Yo no veo por dónde continuar a partir de aquí ya no sé cómo los parciales de la dehomoginzed polinomios se compara a la de los polinomios homogéneos. Cualquier sugerencia sería muy apreciada.

Answer 1

Uso de Eulers lema para un % polinomio homogéneo $f$, de grado $d$ % $\sum_{i=0}^{n}x_{i}\dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}=df$