Dimensión máxima de un subespacio de singular $n\times n$ matrices

Question

Estoy seguro de que la respuesta a esto es (más o menos) conocida. He buscado en la web y en el sitio una prueba y no he encontrado nada, y si esto es un duplicado, lo siento.

La siguiente pregunta se formuló en un concurso en el que participé. Tenía un planteamiento pero no resolvía el problema.

Considere $V$ a subespacio lineal del espacio vectorial real $\mathcal{M}_n(\Bbb{R})$ ( $n\times n$ matrices de entradas reales) tales que $V$ contiene sólo matrices singulares (es decir, matrices con determinante igual a $0$ ). ¿Cuál es la dimensión máxima de $V$ ?

Una suposición rápida sería $n^2-n$ ya que si consideramos $W$ el conjunto de $n\times n$ matrices reales con la última línea igual a $0$ entonces este espacio tiene dimensión $n^2-n$ y es un espacio lineal de matrices singulares.

Ahora lo único que hay que probar es que si $V$ es un subespacio de $\mathcal{M}_n(\Bbb{R})$ de dimensión $k > n^2-n$ entonces $V$ contiene una matriz no singular. La prueba oficial me resultó insatisfactoria, porque era combinatoria y parecía tener pocas cosas en común con el álgebra lineal. Esperaba una demostración de álgebra lineal pura.

Mi enfoque fue buscar una matriz de permutación en $V$ pero utilicé algún "falso teorema" en el medio, que me avergüenza publicar aquí.

Answer 1

Podemos demostrar de forma más general que si $\mathcal M$ es un subespacio lineal de $\mathcal M_n(\mathbb R)$ tal que todos sus elementos tienen un rango menor o igual a $p$ , donde $1\leq p<n$ entonces la dimensión de $\mathcal M$ es menor o igual que $np$ . Para verlo, consideremos el subespacio $\mathcal E:=\left\{\begin{pmatrix}0&B\\^tB&A\end{pmatrix}, A\in\mathcal M_{n-p}(\mathbb R),B\in\mathcal M_{p,n-p}(\mathbb R) \right\}$ . Su dimensión es $p(n-p)+(n-p)^2=(n-p)(p+n-p)=n(n-p)$ . Sea $\mathcal M$ un subespacio lineal de $\mathcal M_n(\mathbb R)$ tal que $\displaystyle\max_{M\in\mathcal M}\operatorname{rank}(M)=p$ . Podemos suponer que este espacio contiene la matriz $J:=\begin{pmatrix}I_p&0\\0&0\end{pmatrix}\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ . De hecho, si $M_0\in\mathcal M$ es tal que $\operatorname{rank}M_0=p$ podemos encontrar $P,Q\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ matrices invertibles tales que $J=PM_0Q$ y el mapa $\varphi\colon \mathcal M\to\varphi(\mathcal M)$ definido por $\varphi(M)=PMQ$ es un mapa lineal biyectivo que preserva el rango.

Si tomamos $M\in\mathcal M\cap \mathcal E$ entonces podemos demostrar, considerando $M+\lambda J\in\mathcal M$ que $M=0$ . Por lo tanto, ya que $$\dim (\mathcal M+\mathcal E)=\dim(\mathcal M)+\dim(\mathcal E)\leq \dim(\mathcal M_n(\mathbb R))=n^2, $$
tenemos $$\dim (\mathcal M)\leq n^2-n(n-p)=np.$$