¿Cómo soluciono esto?

Question

He intentado esto:

$yy'+x=\sqrt{x^2+y^2}$

$y'=-\frac{x}{y}+\frac{1}{y}\sqrt{x^2+y^2}$

$y'=-\frac{x}{y}+\sqrt{(\frac{x}{y})^2+1}$

Sustitución: $v=\frac{y}{x}$

$v'x+v=-\frac{1}{v}+\sqrt{(\frac{1}{v})^2+1}$

$v'x=-\frac{1-v^2}{v}+\sqrt{(\frac{1}{v})^2+1}$

$v'x=-\frac{1-v^2+ v\sqrt{(\frac{1}{v})^2+1}}{v}$

$v'x=-\frac{1-v^2+\sqrt{1+v^2}}{v}$

Si tengo que separar en este punto, va a ser bastante incómodo de trabajar.

¿Hay una manera mejor?

Answer 1

Una vez ajustado $z=x^2+y^2$, cosas Haz extremadamente simples. En efecto: $ z '= 2 x +2yy' = 2\sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} = 2z ^ {1/2}, $$ y por lo tanto (suponiendo que $z>0$) $$ z ^ {-1/2} z '= 2, $$ o $$ \big(z^{1/2}\big)' = 1, $$ o $$ z ^ {1/2} = x + c $$ $c$ constante y finalmente $$ z =(x+c) ^ 2, $$ equivalente $$ x ^ 2 + y ^ 2 =(x+c) ^ 2 , $$ y por lo tanto $$ y ^ 2 = 2cx + c ^ 2. $$

Answer 2

Uno debe tener $2yy'=(y^2)'$ quemada en la memoria. Ahora aviso

$$\color{Blue}{x}+(\color{Red}{y^2/2})'=\sqrt{\color{Blue}{x^2}+\color{Red}{y^2}}$$

La observación rojo nos dice que podríamos utilizar la sustitución $v=y^2$. La observación azul nos dice que podemos ir más lejos, desde $2x=(x^2)'$ (que es sólo nuestra observación original una segunda vez). Ahora:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2+y^2}{2}\right)=\sqrt{x^2+y^2}\iff \frac{dr^2}{dx}=2r.$$

Simplifyig, $dr/dx=1\implies r=x+c\iff y^2=(x+c)^2-x^2=c(2x+c)$.

Answer 3

$x^2+y^2$ Sugiere utilizar coordenadas polares. Sustituto $x=r\cos\theta$ y $y=r\sin\theta$. La parte difícil es la expresión $dy/dx$.

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{r'\sin\theta + r\cos\theta}{r'\cos\theta - r\sin\theta}$$

Entonces se puede sustituir en su Oda.

$$\begin{align} yy' + x &= \sqrt{x^2+y^2}\\ r\sin\theta\frac{r'\sin\theta + r\cos\theta}{r'\cos\theta - r\sin\theta} + r\cos\theta &= r\\ \sin\theta(r'\sin\theta + r\cos\theta) + \cos\theta(r'\cos\theta - r\sin\theta) &= r'\cos\theta - r\sin\theta\\ r'\sin^2\theta + r\sin\theta\cos\theta + r'\cos^2\theta - r\sin\theta\cos\theta &= r'\cos\theta - r\sin\theta\\ r' &= r'\cos\theta - r\sin\theta \end {Alinee el} $$

Parece que $\dfrac{d}{d\theta}r\cos\theta$ podría ser útil a la derecha. Siguiendo esto me llevó a una solución que satisficiera su Oda en la sustitución (que ahora agrego como la otra respuesta es la solución).

$$\begin{align} r' &= \frac{d}{d\theta}r\cos\theta\\ r &= r\cos\theta + k\\ x^2 + y^2 &= x^2 + 2kx + y^2\\ y &= \sqrt{k^2 + 2kx} \end {Alinee el} $$

Answer 4

Me gusta todas las respuestas que se han ido antes que yo. Sin embargo, sólo para agregar otro diferente (si no más)

Comenzamos dividiendo por x en primer lugar nos encontramos $$ \frac{y}{x}y^{'} + 1 = \sqrt{1 + \left(\frac{y}{x}\right)^{2}} $$ luego subbing en $v = \frac{y}{x}$ obtenemos $$ v\left(xv^{'} + v\right) + 1 = \sqrt{1 + v^{2}} $$ re-organizar obtenemos $$ \int \frac{v}{1+v^{2}-\sqrt{1+v^{2}}}dv = -\int\frac{1}{x}dx = -\ln{x} $$ saliendo de la atención a la parte derecha podemos utilizar la sustitución de $u^{2} = v^{2} + 1$ esto reduce la integral a $$ \int \frac{v}{1+v^{2}-\sqrt{1+v^{2}}}dv = \int \frac{1}{u-1}du = \ln{\left(u-1\right)} $$ la combinación de los dos lados $$ \ln{\left(u-1\right)} = -\ln{x} + C_1 $$ o $$ u - 1 = \sqrt{v^{2}+1} - 1= \frac{k}{x} $$ donde $k = \mathrm{e}^{C_1}$ por lo tanto $$ v^{2} + 1 -2\sqrt{v^{2}+1} + 1 = \frac{k^{2}}{x^{2}}\implica\\ v^{2} + 2 -2\left(\frac{k}{x} +1\right) = \frac{k^{2}}{x^{2}},\\ v^{2} - 2\frac{k}{x} = \left(\frac{y}{x}\right)^{2} - 2\frac{k}{x} = \frac{k^{2}}{x^{2}} $$ o $$ y^{2} = k^{2} + 2kx \implica y = \sqrt{k^{2} + 2kx} $$