¿Energía de una carga acelerada?

Question

Experimento: Vamos a tomar una partícula cargada positivamente y guárdela en un lugar vacío, sin campo eléctrico. Sólo se sienta allí. Ahora, nosotros instantáneamente introducir un campo eléctrico. El momento antes de que empiece a moverse, se puede calcular la energía potencial de la partícula. OK. De partículas siente una de Coulomb la fuerza y comienza a acelerar a una tasa constante. Después de algún tiempo, t, podemos calcular la nueva energía potencial de la partícula. La diferencia en la energía potencial entre t = 0 y t = t debe ser la energía cinética de la partícula en el tiempo t.

Aquí está la llave:

De acuerdo a mis profesores, la aceleración de las partículas de la liberación de las ondas electromagnéticas. Me enseñaron que las ondas electromagnéticas son "paquetes de energía". ¿Por qué en todos mis cursos de EM...nunca he tenido en cuenta la pérdida de energía en forma de ondas EM? Y hay una manera de saber o calcular cuánta energía se perdió?

Answer 1

Si asumimos que las velocidades son muy por debajo de los relativista de la región, a continuación, en la ausencia de radiación de la ecuación de movimiento del electrón, es simplemente:

$$ \frac{d^2x}{dt^2} = \frac{Eq}{m} \tag{1} $$

donde $E$ es la intensidad de campo y $q$ $m$ son los electrones de carga y la masa.

Como Lawrence dice, la potencia emitida en forma de radiación está dada por la Larmour ecuación:

$$ P = \frac{q^2a^2}{6\pi\varepsilon_0c^3} = \frac{q^2}{6\pi\varepsilon_0c^3} \left(\frac{d^2x}{dt^2}\right)^2 \tag{2} $$

y dado que la energía es la fuerza de velocidad de veces esto produce una fuerza sobre la carga de $P/v$ y, por tanto, una desaceleración de $P/(vm)$. De manera que la ecuación de movimiento, incluyendo la radiación es:

$$ \frac{d^2x}{dt^2} = \frac{Eq}{m} - \frac{1}{m\frac{dx}{dt}}\frac{q^2}{6\pi\varepsilon_0c^3}\left(\frac{d^2x}{dt^2}\right)^2 \tag{3} $$

Ugh!

Siéntase libre de intentar una solución, pero por ahora vamos a tener una idea de las cantidades de que se trate. Vamos a tomar una intensidad de campo de $10^5$ V/m, que es casi tan alta como se puede ir sin necesidad de incluir correcciones relativistas. En ese caso, la ecuación (1) nos da:

$$ a \approx 1.76 \times 10^{16} \,\text{m/s}$$

Alimentar a esto en la ecuación (2) y obtenemos:

$$ P \approx 1.76 \times 10^{-21} \,\text{W} $$

Recuerda que empezamos diciendo que estábamos usando una intensidad de campo de $10^5$ voltios por metro, por lo que el potencial de cambio de energía por metro cuadrado es $Vq$ o acerca de $1.6\times 10^{-14}$J. Así que tenemos una de siete órdenes de magnitud de diferencia entre la ganancia de energía de los electrones por metro y la energía irradiada por segundo. Y eso es ignorar la pérdida de energía por radiación en la mayoría de las circunstancias.

Como una nota a pie de página, el Larmour la radiación es más, ciertamente, no siempre negligable. Después de todas las emisiones de radio de usar exactamente este fenómeno - el de la energía radiada por electrón es pequeña, pero afortunadamente hay un montón de electrones en un programa de radio de la antena. El Larmour la radiación es también por qué el acelerador LEP no podía ser mucho más poderoso que 200GeV - la energía radiada debido a que el movimiento circular hecho es prohibitivamente caro para ejecutar en cualquier altas energías.

Answer 2

La fórmula de Larmor proviene del vector de Poynting $$ \vec S = \frac{c}{4\pi}\vec E\times\vec B $$ El campo eléctrico en un relativista contenido se deriva con el Lienard-Weichert potencial $$ \vec E = q\frac{\hat n - (\vec v/c)}{\gamma^2(1 - \vec v\cdot\hat n)^3r^2} + \frac{q}{c}\frac{\hat n \times((\hat n - (\vec v/c)))\times\vec v_t/c}{\gamma^2(1 - \vec v\cdot\hat n)^3r} $$ con $\vec v_t = d\vec v/dt$$\vec B = \hat n\times\vec E$. El producto cruzado cálculo se toma un poco de trabajo pero el resultado es $$ \vec S = \frac{p^2}{4\pi c^3}\frac{(|\vec v_t|^2 - \hat n\cdot\vec v_t)\hat n }{r^2} $$ donde, por supuesto $|\vec v_t|^2 = a^2$ El vector de Poynting es el flujo de energía de la tasa. Esto puede ser derivada para calcular el poder de dar la fórmula de Larmor $$ P = \frac{2}{3}\frac{e^2a^2}{c^3}. $$

Answer 3

¿Por qué en todos mis cursos de EM...nunca he tenido en cuenta la pérdida de energía en forma de ondas EM?

En los ejemplos se muestra en cursos de introducción, la pérdida de energía de la partícula cargada se mueve en el campo externo a través de la radiación es descuidado, debido a que la radiación de las ondas electromagnéticas es un tema difícil, e incluso si es que no se descuida, puede ser demostrado su efecto sobre el movimiento de las partículas es relativamente pequeño.

Si usted toma más avanzado del curso, tales como la electrodinámica relativista o el diseño de antenas/aceleradores de partículas, la pérdida de energía a través de la radiación se discute allí.

Y hay una manera de saber/cómo calcular cuánta energía se perdió?

Sí hay, si el acusado cuerpo tiene distinto de cero dimensiones (no es un punto), el teorema de Poynting puede ser interpretado como el trabajo-el teorema de la energía y si el cuerpo está lejos de otros organismos (por lo que el efecto de otros organismos en el vector de Poynting puede ser descuidado), la fórmula de Larmor se pueden derivar. La fórmula de Larmor dice que la energía irradiada por acelerado acusado de cuerpo por segundo es

$$ P = \frac{2}{3}\frac{Kq^2}{c^3}^2 $$

donde $K = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$,$q$ está a cargo del cuerpo y de la $a$ es la magnitud de su aceleración.

Cuando la pérdida de energía es evaluado por los electrones en los CRT (antiguo gran TELEVISIÓN de la cámara de vacío) o electrones en un microscopio, se obtiene número muy pequeño comparado con el total de la energía de los electrones, por lo que el efecto se descuida la mayoría del tiempo. Donde no se puede descuidar es aceleradores de partículas - el diseño de los parámetros de movimiento es tal que la pérdida de energía de un grupo de partículas (un grupo es una pequeña nube de miles de millones de partículas que se mueven juntos) en una órbita es comparable a la energía que la máquina es capaz de suministrar.