Gráfico de $\quad\frac{x^3-8}{x^2-4}$ .

Question

Estaba usando google graphs para encontrar el gráfico de $$\frac{x^3-8}{x^2-4}$$ y me dio:

¿Por qué es $x=2$ definido como $3$ ? Sé que se supone que tiende a 3. ¿Pero dónde está la asíntota?

Answer 1

Porque hay un singularidad extraíble en $x = 2$ , no habrá ninguna asíntota .

Tienes razón en que la función no está definida en $x = 2$ . Considere el punto $(2, 3)$ para ser un agujero en el gráfico.

Obsérvese que en el numerador, $$(x-2)(x^2 + 2x + 4) = x^3 - 8,$$ y en el denominador $$(x-2)(x+ 2) = x^2 - 4$$

Cuando simplificamos cancelando (aunque reconociendo $x\neq 2$ ), terminamos con la función racional $$\frac{x^2 + 2x + 4}{x+2}$$

Podemos confirmar que el "agujero" en $x = 2$ es una singularidad removible al confirmar que su límite existe: $$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 2x + 4}{x+2} = 3$$

Sin embargo, vemos que hay una asíntota en $x = -2$ . Podemos saber esto sin graficar evaluando el límite de la función como $x$ se acerca a $-2$ desde la izquierda y desde la derecha:

$$\lim_{x \to -2^-} \frac{x^2 + 2x + 4}{x+2} \to -\infty$$

$$\lim_{x \to -2^+} \frac{x^2 + 2x + 4}{x+2} \to +\infty$$

Por lo tanto, existe una asíntota vertical en $x = -2$ .

Answer 2

No hay asíntota en $x=2$ . Tenga en cuenta que $$\frac{x^3-8}{x^2-4}=\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{(x-2)(x+2)}.$$ Para $x\ne 2$ podemos anular el $x-2$ .

Así que cerca de $x=2$ nuestra función se comporta muy bien, tiene un bonito límite. La singularidad en $2$ se llama singularidad extraíble . Si definimos una nueva función $g(x)$ por $g(x)$ igual a nuestra expresión dada cuando $x\ne 2$ y $g(2)= 3$ la función $g(x)$ es muy agradable en todas partes excepto en $x=-2$ . (La singularidad en $x=-2$ no es extraíble).

Muchos programas de graficación ignoran por completo las singularidades extraíbles. Al menos Alpha tuvo la decencia de poner un punto ahí.

Answer 3

Sólo habrá una asíntota si el límite es infinito. en su caso, para todos los puntos $x\neq 2$ : $$\frac{x^3-8}{x^2-4} = \frac{x^2+2x+4}{x+2} $$ ¡Que no tiene discontinuidades!