Permítanme comenzar con lo que anteriormente era un comentario anterior: la sensación de la mayoría de los expertos es, probablemente,* que para cada uno de ellos fijo $d$, el número de isogeny factores de $J_0(p)$ de la dimensión de $d$ debe ser pequeña en comparación con la dimensión de $J_0(p)$, es decir,$o_d(p)$.
En lo que sigue, voy a citar algunos de los resultados que apuntan en esta dirección. Mi respuesta no es tan lógicamente coherente como me habría gustado: tal vez un verdadero experto va a hacer mejor.
Al $p$ es primo, se sigue de una 1975 teorema de Ribet (de referencia) de que el $\mathbb{Q}$-racional endomorfismo álgebra de $J_0(p)$ es el mismo que el geométrica (es decir, $\mathbb{C}$-racional) endomorfismo de álgebra, y que esta álgebra es un producto de formalmente campos, cada uno siendo el subcampo de $\mathbb{Q}$ obtenido por limítrofes de los coeficientes de Fourier de las diversas peso $2$ cuspforms de nivel $p$.
Por tanto, el problema puede ser visto como un caso especial de una popular en pura geometría algebraica: para qué géneros $g$ ¿ existen complejo de curvas algebraicas de género $g$ con, por ejemplo, Jacobians isogenous a un producto de curvas elípticas? (O, más en general, con endomorfismo de álgebra que contiene, al menos, $N$ semisimple factores?) Si usted cuenta codimensions en la Siegel espacio de moduli correspondiente a (digamos) principalmente polarizada abelian variedades con cierta trivial endomorfismo álgebras y la Torelli locus (es decir, de Jacobians), luego te encuentras con que (al menos en muchos casos especiales) la suma de estos codimensions asciende a más de $\frac{g(g+1)}{2}$, la dimensión de la Siegel espacio de moduli. Por lo tanto, a menos que hay un exceso de intersección entre estos dos loci, para lo suficientemente grande $g$ uno espera Jacobians no ser muy descompuesto. [Esta es una señal para el Prof. JSE para opinar sobre la materia.]
Por ejemplo, creo que es, al menos, conjeturó que para suficientemente grande $g$, no $g$-dimensiones Jacobiana se divide por completo en un producto de curvas elípticas. Esto se conoce para ser verdad sobre campos finitos, pero tal vez no más de $\mathbb{C}$.
Serre ha trabajado en tanto que el general geométricas pregunta y en este caso especial. En sus 1997 ATASCOS de papel, Serre mostraron que la máxima dimensión de un simple isogeny factor de $J_0(N)$ enfoques de borde infinito con $N$. Creo que el resultado es cuantitativa, por lo que si se puede obtener la mayor parte de la información conocida actualmente sobre la pregunta que usted me hizo.
Ribet, Kenneth A. Endomorphisms de semi-estable abelian variedades más número de campos. Ann. Matemáticas. (2) 101 (1975), 555--562.
Serre, Jean-Pierre
Répartition asymptotique des valeurs uizen de l''opérateur de Hecke $T_p$. (En francés) [distribución Asintótica de los autovalores de la Hecke operador $T_p$]
J. Amer. De matemáticas. Soc. 10 (1997), no. 1, 75--102.
*: Yo creo que es cierto, y el pequeño número de personas con las que he hablado sobre esto de forma explícita (hace varios años) pensaba que era cierto. Vamos a ver lo que otros tienen que decir.
