Raíces cuadradas anidadas $5^0+\sqrt{5^1+\sqrt{5^2+\sqrt{5^4+\sqrt\dots}}}$

Question

¿Cómo se puede calcular el valor de $X$ , donde

$X=5^0+ \sqrt{5^1+\sqrt{5^2+\sqrt{5^4+\sqrt{5^8+\sqrt{5^{16}+\sqrt{5^{32}+\dots}}}}}}$

He intentado la forma estándar de cuadrar y luego probar algún truco, pero nada funciona. También he mirado algunos resultados anteriores radicales anidados, pero ninguno parece ser de la variedad de este problema. ¿Puede alguien dar con la respuesta? Gracias

Answer 1

El truco es sacar un $\sqrt{5}$ factor del segundo término:
$$ \frac{\sqrt{5^1+ \sqrt{5^2 + \sqrt{5^4 + \sqrt{5^8 + \cdots}}}}}{\sqrt{5}} = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \cdots}}}}, $$ que yo llamo $Y$ para mayor comodidad. Para ver por qué esto es cierto, observe que $$ \begin{align*} \frac{\sqrt{5^1+x}}{\sqrt{5}} = \sqrt{1+\frac{x}{5^1}} \\ \frac{\sqrt{5^2+x}}{5^1} = \sqrt{1+\frac{x}{5^2}} \\ \frac{\sqrt{5^4+x}}{5^2} = \sqrt{1+\frac{x}{5^4}} \end{align*} $$ y así sucesivamente. Aplicando esto repetidamente dentro de los radicales anidados se obtiene la afirmación. (La redacción de esta explicación se ha inspirado sobre todo en un comentario de @J.M. más abajo).

Ahora, sólo queda calcular $Y$ y $X$ . Elevando al cuadrado, obtenemos $$ Y^2 = 1 + Y \ \ \ \ \implies Y = \frac{\sqrt{5}+1}{2}, $$ descartando la raíz negativa. Introduciendo este valor en la definición de $X$ obtenemos: $$ X = 1 + \sqrt{5} Y = 1 + \frac{5+\sqrt{5}}{2} = \frac{7+\sqrt{5}}{2} . $$

Nota sobre los problemas de convergencia. Como señala @GEdgar, para completar la prueba, también tengo que demostrar que ambos lados de la primera ecuación convergen a unos límites finitos. Para nuestras expresiones, la convergencia se deduce de la respuesta de @Bill Dubuque a mi pregunta sobre la definición de la convergencia de dicha expresión . Creo que con un poco de trabajo, también se puede dar una demostración directa mostrando que esta secuencia está acotada desde arriba (lo que espero que también acabe mostrando el teorema que cita Bill), pero no seguiré con esto. Añadido: Ver la respuesta de @Aryabhata a una pregunta relacionada para una prueba práctica.