¿La función es diferenciable en $0$?

Question

Que %#% $ #%

¿Es la función $$f(x) = \begin{cases}\begin{align*}&\cos{\dfrac{1}{x}}, &x \neq0 \\ &0, &x=0. \end{align*}\end{cases}$ diferenciable en $F(x) = \displaystyle \int_{0}^x f dx$?

Podemos ver que la función $0$ es continuo por todas partes excepto $f(x)$. Para mostrar el differentiability que necesitamos mostrar los derivados de la izquierda y la derecha son iguales. Así que tenemos que mostrar que $x=0$$$\lim_{h \to 0^+} \dfrac{F(x+h)-F(x)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \dfrac{F(x+h)-F(x)}{h}.$$ The derivative from the right is $$\lim_{h \to 0^+} \dfrac{F(x+h)-F(x)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \dfrac{\displaystyle \int_{0}^x\cos{\dfrac{1}{x+h}}-\int_{0}^x\cos{\dfrac{1}{x}}}{h}$% $ $ and the derivative from the left is $no estoy seguro de cómo proceder.

Answer 1

El problema es un poco complicado porque no sabemos el anti-derivado de $\cos (1/x)$ pero sabemos que $g(x) = x^{2}\sin(1/x), g(0) = 0$ de la función es continua y diferenciable de todos $x$ y $$g'(x) = 2x\sin (1/x) - \cos(1/x),g'(0) = 0$$ and hence $$g(h) = \int_{0}^{h}(2t\sin (1/t) - \cos (1/t))\,dt$$ or $% $ $\int_{0}^{h}\cos(1/t)\,dt = 2\int_{0}^{h}t\sin(1/t)\,dt - g(h)$y por lo tanto\begin{align} F'(h) &= \lim_{h \to 0}\frac{1}{h}\int_{0}^{h}\cos(1/t)\,dt\notag\\ &= \lim_{h \to 0}\frac{2}{h}\int_{0}^{h}t\sin(1/t)\,dt - \frac{g(h)}{h}\notag\\ &= 2\lim_{h \to 0}\frac{1}{h}\int_{0}^{h}t\sin(1/t)\,dt\notag\\ \end {Alinee el} $t\sin(1/t)$ tiene una discontinuidad removible en $t = 0$ y su límite es de $0$ $t \to 0$ por lo tanto, por teorema Fundamental de cálculo el límite $$\lim_{h \to 0}\frac{1}{h}\int_{0}^{h}t\sin(1/t)\,dt$$ above is $0$ and therefore $F'(0) = 0$.

Answer 2

$x\geq 0$, Que $[x]$ denotan el mayor elemento de $\mathbb{Z}\pi+\pi/2$ no mayor de $x$.

$$\left|\int_0^x \cos(1/t)dt\right|=\left|\int_{1/x}^\infty \frac{ \cos(t)}{t^2}dt\right|\leq \left|\sum_{n=0}^\infty\int_{[1/x]+n\pi}^{[1/x]+(n+1)\pi}\frac{ \cos(t)}{t^2}dt\right|\leq \left|\int_{[1/x]}^{[1/x]+\pi}\frac{ \cos(t)}{t^2}dt\right|\leq$$

$$\left| [1/x]^{-2}\int_{[1/x]}^{[1/x]+\pi}\cos(t)dt\right|= 2[1/x]^{-2}\leq 2(1/x-\pi)^{-2}\leq cx^{2}$$

$c>0$ y todo bastante pequeño $x$.

Así $|F(x)|$ va a cero como $x^2$ $x\rightarrow 0^+$. Por lo que tiene un derecho derivado que es cero. Por simetría la izquierda derivada también es cero.

Answer 3

Lo que tienes es el derivado de f, no el derivado de F que es lo que quieres. La derivada de F en x = 0, por la derecha, es $\lim_{h\to 0^+}\frac{F(h)- F(0)}{h}= \lim_{h\to 0^+}\frac{\int_0^h f(t)dt}{h}$.