Interpretación física/geométrica del determinante de una matriz

Question

Consideremos una transformación matricial $\mathbf{T}$ que actúa sobre un vector $\mathbf{x}$ :

$$ \mathbf{x}' = \mathbf{T}\mathbf{x}. $$

Ahora, sé que las transformaciones lineales unidimensionales expanden el longitud por un factor $|det(\mathbf{T})|$ las transformaciones lineales bidimensionales amplían el zona por un factor $|det(\mathbf{T})|$ y las transformaciones lineales tridimensionales amplían el volumen por un factor $|det(\mathbf{T})|$ .

Pero, ¿cómo puedo verlo matemáticamente? Estaba pensando en calcular la norma $||\mathbf{x}'|| = ||\mathbf{T}||\cdot||\mathbf{x}||$ pero no saben cómo tratar $||\mathbf{T}||$

La física de esta pregunta es: ¿todas las transformaciones de Lorentz tienen determinante igual a 1? ¿Porque preservan el intervalo espacio-tiempo?

EDITAR:

Lo que preguntaba era más bien: ¿cómo puedo ver que el determinante de una matriz lleva información sobre el cambio de área/volumen del sistema sobre el que actúa? Matemáticamente, ¿cómo puedo demostrar que el área abarcada por dos vectores no cambia SI el determinante de la matriz de transformación es 1?

Answer 1

¿Todas las transformaciones de Lorentz tienen determinante igual a 1? ¿Porque preservan el intervalo espacio-tiempo?

Sí, lo hacen, pero la preservación del intervalo no es la forma correcta de pensar en el "por qué".

Tenemos dos hechos:

1. Las transformaciones de Lorentz tienen determinante jacobiano 1.

2. Las transformaciones de Lorentz preservan el intervalo espaciotemporal.

No existe una relación estrecha o simple entre estos hechos. En particular, 1 no implica 2. Por ejemplo, las transformaciones galileanas tienen determinante jacobiano 1, pero no preservan el intervalo espaciotiempo. Del mismo modo, podríamos definir una rotación en el $x-t$ plano, y tendría determinante jacobiano 1 pero no preservaría el intervalo espaciotiempo.

Es cierto que 2 implica 1, pero esto se debe simplemente a que 2 es suficiente para caracterizar completamente las transformaciones de Lorentz y, por tanto, dar todas sus propiedades indirectamente.

Para una demostración general del jacobiano unitario que se aplica tanto a las transformaciones galileanas como a las transformaciones de Lorentz, véase la respuesta a esta pregunta: ¿Motivación de la conservación del volumen del espaciotiempo por la transformación de Lorentz?

Answer 2

Sí, el determinante de la matriz que expresa los componentes de a Transformación de Lorentz viene dictada por la necesidad de mantener intervalo espaciotiempo invariante.

A continuación utilizaré unidades naturales tal que $c=1$ utiliza la "costa este" convención sobre signos y utilice el botón Convención de suma de Einstein . Los índices primados indican componentes vectoriales o tensoriales expresados en el sistema de coordenadas primado.

En cualquier sistema de coordenadas considerado por la relatividad especial, el intervalo espaciotemporal entre dos sucesos puede escribirse

$$s^2=\ -\ (\Delta t)^2\ +\ (\Delta x)^2\ +\ (\Delta y)^2\ +\ (\Delta z)^2\ \ .$$

Esto significa que si definimos

$$A=\left\lbrack \begin{matrix}\Delta t \\ \Delta x \\ \Delta y \\ \Delta z \end{matrix}\right\rbrack$$

podemos escribir el intervalo espaciotiempo como

$$s^2=A^{\mu} g_{\mu\nu} A^{\nu}\ \ ,$$

donde $g$ es el Métrica de Minkowski cuyos componentes son:

$$g_{\mu\nu}=\left\lbrack \begin{matrix}-1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1 \end{matrix}\right\rbrack \ \ .$$

La métrica de Minkowski es la que define la geometría del espaciotiempo utilizado en la relatividad especial, Espacio de Minkowski . La métrica de Minkowski define lo que son los intervalos, del mismo modo que la Métrica euclidiana define lo que son las longitudes en el espacio euclidiano. Un punto clave sobre la métrica de Minkowski es que sus componentes son los mismos en cualquier sistema de coordenadas considerado por la relatividad especial . La invariancia de los intervalos es una consecuencia directa y fácil de la invariancia de las componentes de la métrica de Minkowski.

Para convertir un vector de un sistema de coordenadas a otro, se utiliza una vez la transformación de Lorentz:

$$x^{\mu '}={\Lambda^{\mu '}}_{\nu}x^{\nu}\ \ .$$

Pero la métrica de Minkowski es una rango dos tensor . Para convertir un tensor de rango dos de un sistema de coordenadas a otro, se utiliza una transformación de Lorentz dos veces, como

$$g_{\mu' \nu'}={\Lambda^{\sigma}}_{\mu '}g_{\sigma\rho}{\Lambda^{\rho}}_{\nu '}\ \ ,$$

que podría escribirse en notación matricial como

$$g'\ =\ {\Lambda}^{T} g \Lambda\ \ .$$

Pero como las componentes de la métrica de Minkowski son las mismas en cualquier sistema de coordenadas, también podemos escribir

$$g\ =\ {\Lambda}^{T} g \Lambda\ \ .$$

Tomando el determinante de ambos lados de esa ecuación se obtiene

$$\det(g)=\det(\Lambda)\det(g)\det(\Lambda)\ \ .$$

La única manera de que esa ecuación se mantenga es si

$$[\det(\Lambda)]^2=1\ \ .$$

Hay dos formas posibles de que se cumpla esa ecuación. La posibilidad más comúnmente considerada es que

$$\det(\Lambda)\ =\ 1\ \ ,$$

en cuyo caso la transformación se denomina transformación de Lorentz "propia". La otra posibilidad es que

$$\det(\Lambda)\ =\ -1\ \ ,$$

en cuyo caso la transformación se denomina transformación de Lorentz "impropia". Las transformaciones de Lorentz impropias suelen ser menos útiles que las transformaciones de Lorentz propiamente dichas.