Los números primos de la Atlántida: una definición y un problema

Question

Se denota la función del suelo como $\lfloor x\rfloor$, y para los números enteros $k\geq 1$ consideramos la siguiente suma de las áreas de los tres círculos $$\pi k^2+\pi(k+1)^2+\pi(k+2)^2=\pi \left( 3k^2+6k+5\right). $$

Definición. Cuando para un entero $n\geq 1$ el número entero $$\mathcal{A}(n)=\lfloor \pi\left( 3n^2+6n+5\right) \rfloor$$ es un número primo, yo digo que es un primer de la Atlántida.

Nuestra secuencia de primos de la Atlántida se inicia como $$43, 157, 241, 769, 4567, 11551, 14341, 16631, 19949\ldots$$ corresponding to the indexes $n:1, 3, 4, 8, 21, 34, 38, 41, 45, \ldots$ como se puede ver con estos códigos de usar Wolfram Alpha de la calculadora en línea:

Table IsPrime(floor(pi (n^2+(n+1)^2+(n+2)^2))), for n=1 to 100

Table floor(pi (n^2+(n+1)^2+(n+2)^2)), for n=1 to 100

Pregunta. Me gustaría saber si se puede deducir si existen infinitos números primos de la Atlántida. Muchas gracias.

Si usted no puede resolver el problema, pero usted nos puede proporcionar útiles razonamientos o cálculos acerca de la Pregunta, por favor comparta sus conocimientos.

Answer 1

Esto no es una respuesta completa , pero me muestran algunas estadísticas acerca de los "primos de la Atlántida"

Programa de PARI/GP se utiliza

La primera de todas las $n$ hasta $1000$, por lo que obtenemos un "prime de la Atlántida" :

\p 10000 { High precision calculation }
pa(n)=isprime(truncate(Pi*(3*n^2+6*n+5)),2)==1 {pa(n) is true if and only if we get a prime of Atlantis by choosing $n$}

? select(m->pa(m)==1,[0..1000])
%4 = [1, 3, 4, 8, 21, 34, 38, 41, 45, 69, 75, 91, 136, 166, 179, 190, 202, 222,
227, 228, 229, 230, 239, 267, 284, 308, 313, 317, 323, 351, 359, 381, 392, 409,
417, 429, 433, 434, 442, 449, 456, 460, 463, 468, 486, 490, 518, 527, 549, 585,
588, 607, 632, 651, 668, 670, 684, 694, 700, 703, 727, 764, 775, 782, 805, 811,
814, 820, 821, 844, 850, 894, 896, 920, 925, 926, 932, 969, 979, 985]
?

Para $n\in [1,10]$ , obtenemos $4$ de los números primos

Para $n\in [10,100]$ , obtenemos $8$ de los números primos

Para $n\in [100,1000]$ , obtenemos $68$ de los números primos

Para $n\in [10^3,10^4]$ , obtenemos $498$ de los números primos

Para $n\in [10^4,10^5]$ , obtenemos $3778$ de los números primos

Para $n\in [10^5,10^6]$ , obtenemos $31767$ de los números primos

Algunos de los grandes $n$, por lo que obtenemos un "prime de la Atlántida"

$$10^{100}+142$$ $$10^{200}+114$$ $$10^{500}+6391$$ $$10^{1000}+1395$$

with $201$ , $401$ , $1001$ and $2001$ dígitos respectivamente. Probablemente hay una cantidad infinita de "los primos de la Atlántida", pero es difícil imaginar que esto puede ser demostrado.