Piso Ecuación De La Función

Question

Cuántos números enteros positivos $ N$ menos de $ 1000$ están allí, que la ecuación de $ x^{\lfloor x\rfloor} = N$ tiene una solución para $ x$? (La notación $ \lfloor x\rfloor$ denota el mayor entero que es menor o igual a $ x$.)

Será:

$x^1, x^2, x^3, x^4, ..., x^k$ para un entero $k$.

$$x^k - N = 0$$

Me refiero a que yo tengo algo confundido porque:

$$x = \sqrt[k]{N}$$

Pero el requisito es que:

$$k \le \sqrt[k]{N} < k + 1$$

Para $k = 2, N = 4,$ sigue, $2 = 2 < 3$. Esa es una solución.

$$k^k \le N < (k + 1)^k$$

Para $N$ hay: $(k + 1)^k - k^k$ soluciones.

Pero hay infinitas $k's$, así que estoy confundida.

SÓLO SUGERENCIAS POR FAVOR!!

Answer 1

Sugerencia: no Hay infinito k. Primera nota de que, evidentemente, $\lfloor x \rfloor$ es un número entero. También, para un cierto entero $\lfloor x \rfloor$, $x^{\lfloor x \rfloor}$ supera $1000$, y es, por lo tanto no es viable. Sólo se debe considerar el entero de los casos para$\lfloor x \rfloor$, que es menor que este valor. Una vez que usted sabe que esto suponga limitación,$\lfloor x \rfloor$, es relativamente fácil contar el número de soluciones viables para cada valor de $\lfloor x \rfloor $ más pequeño de lo que considerando los posibles valores de $N$ que se encuentra en un intervalo de tiempo dado.

Answer 2

Utilizando la definición de la función del suelo:

$N \in [1^1,\lfloor1.999^1\rfloor] \cup [2^2,\lfloor2.999^2\rfloor] \cup [3^3,\lfloor3.999^3\rfloor] \cup [4^4,\lfloor4.999^4\rfloor]$

[editar] o mejor aún:

$N \in [1,1] \cup [2^2,3^2-1] \cup [3^3,4^3-1] \cup [4^4,5^4-1]$

Y $5^5 > 1000$