Pregunta sobre el necesario rigor con el intro de real de análisis de texto

Question

He empezado tratando de auto-estudio introductorio de análisis, y estoy teniendo algunas preguntas acerca de ser específico en rigor. En el libro que yo estoy usando, titulado Introducción al Análisis Real, la 4ta edición por Robert G. Bartle y Donald R. Sherbert.

El segundo capítulo comienza con un listado de las propiedades de $\mathbb{R}$ y, a continuación, hace un montón de los básicos de las pruebas de las propiedades de los reales usando el dado de axiomas.

Mi pregunta es, se menciona que

Vale la pena señalar que ningún menor número real positivo que puede existir, de hecho si $$a \gt 0$$ then we have $$0 \lt \frac{1}{2}a \lt a$$ (por qué?)

Ahora, por supuesto que entiendo que es cierto, pero sólo estoy queriendo sólo el uso de justificaciones. Y me pregunto cómo podemos decir que $\frac{1}{2}a \lt a$, quiero decir, no estoy seguro de que define cualquier tipo de norma que ordena los números como ese o algún tipo de división o de la orden de los racionales.

¿Cómo puede el resultado que vienen de Trichototmy?

Yo sé que desde $a \gt 0$ y ya se puede demostrar que si $a \gt 0$ $a^{2} \gt 0$ (porque si $a \in P$$a(a) \in P$) por lo que se establece que, y también que $\frac{1}{2} \gt 0$ desde $\pm \frac{\sqrt2}{2} \in \mathbb{R}$ por lo tanto $\frac{1}{2} \gt 0$ $(1/2)a$ es mayor que cero, pero cómo a la conclusión de que la $(1/2)a$ es ordenó a menos de $a$? Hay alguna fuente donde puedo ver cómo los racionales son ordenados de todos modos (pero que todavía estaría interesado en cómo a partir de estos principios se puede concluir).

Espero que esto tiene sentido, tal vez me estoy perdiendo algo o ser muy ingenuo, pero esperemos que alguien se lo que estoy tratando de decir.

Muchas gracias

Answer 1

Por el Teorema 2.1.8 b, tenemos $1>0$.

Por el Teorema 2.1.7 b, tenemos $1>0\implies (1)+1>(0)+1$ (en otras palabras, $2>1$).

Desde $\frac{1}{2}\cdot 2=1>0$$2>0$, por el Teorema de 2.1.10 debemos tener $\frac{1}{2}>0$.

Por lo tanto, por el Teorema 2.1.7 c, combinando el hecho de que $2>1$ $\frac{1}{2}>0$ nos dice que $\frac{1}{2}\cdot 2>\frac{1}{2}\cdot 1$, o en otras palabras, que el $1>\frac{1}{2}$. Ahora, para cualquier $a>0$, nosotros podemos usar el Teorema 2.1.7 c a la conclusión de que la $a\cdot 1>a\cdot \frac{1}{2}$.

Answer 2

Puede utilizar las propiedades de las desigualdades como si $c$ es positiva y $a>b$$ca>cb$? (En mi libro les da como axiomas, pero no estoy familiarizado con la suya.)

Si es así, tenga en cuenta que $1> 1/2$ (creo yo supongo que esto lo sabe), por lo que, desde el $a$ es positivo, $a>a/2$.

Por la otra, se multiplica la desigualdad $a>0$$1/2$, para obtener el $a/2>0/2=0$.

Poner a estos dos juntos, consigue $a>a/2>0$.

Answer 3

Hmm si usted ya ha demostrado que $0 < \frac{a}{2}$, entonces usted puede agregar algo a ambos lados...

$\frac{a}{2} + 0 < \frac{a}{2} + \frac{a}{2} = a$.