Sólo tengo una vaga comprensión del análisis no estándar de la lectura de Reuben Hersh y Philip Davis, La experiencia matemática . Como estudiante de física, tengo cierta educación en análisis estándar, pero me pregunto cuáles son las propiedades de las que se compone la no-estándar (¿eso es una palabra?). ¿Es más que definir números más pequeños que cualquier real positivo como sugiere la etiqueta? ¿Puede dar ejemplos? ¿Conoces una introducción suave a las propiedades no estándar?
Respuestas
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El término "no estándar" se refiere al análisis no estándar que utiliza un modelo no estándar . En el análisis no estándar, se suele intentar estudiar los números reales (y sus funciones y relaciones). Los números reales bajo ciertas operaciones modelan un campo. En el análisis no estándar, el modelo previsto consiste en los números reales, mientras que el modelo utilizado para el estudio de los números reales suele consistir en un campo hiperrealista. Los campos hiperreales no son isomórficos al campo de números reales. Podemos ver esto sólo mirando las estructuras hiperreales finitas, es decir, sólo números finitos, infinitesimales y números infinitamente cercanos a los números finitos.
Dado un campo hiperreal con sólo elementos finitos, tenemos un homomorfismo de esos hiperreales finitos a los reales, al menos una vez que nos ocupamos de la división. Así, en el caso finito, podemos considerar la "parte estándar" o "sombra" de un número hiperreal como una función, pero no podemos obtener correctamente una función inversa de los reales a los hiperreales finitos. También tenemos un homomorfismo de básicamente cualquier estructura de hiperreales finitas a una estructura real dada.
Por ejemplo, si consideramos ( H , +', *', -', /'), es decir, las hiperreales finitas bajo la suma, multiplicación, substracción y división hiperrealistas (donde el denominador no es un infinitesimal) tenemos un mapa SH a ( R +, *, -, /) tal que
SH(h+'i)=(SH(h)+SH(i))
SH(h*'i)=(SH(h)*SH(i))
SH(h-'i)=(SH(h)-SH(i))
SH(h/'i)=(SH(h)/SH(i))y para todos los números hiperreales finitos h, existe un número real r tal que SH(h)=r.
No existe una inversión de la función de sombra de los reales a los hiperreales finitos, o en otras palabras, no existe una función I tal que I(SH(h))=h sea verdadera. Esto es quizás lo más fácil de ver si se considera que la sombra de cada número infinitesimal es igual a 0. Pero, 0 no se asocia con un infinitesimal hiperreal único, ya que podríamos asociar 0 con uno de una infinidad de infinitesimales positivos, o uno de una infinidad de infinitesimales negativos de la misma manera.
Vean los dos últimos comentarios de Pete L. Clark a continuación también.
Además, el Deducir la propiedad de la integridad falla para los hiperreales, lo que indica que los hiperreales como una estructura no isomorfa a los reales bajo varias operaciones. El texto de Keisler referenciado por Brian M. Scott es una buena referencia para leer, y tiene algunos buenos ejemplos.
jmans
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3018
Podría ayudar a entender un poco los antecedentes que llevaron a Abraham Robinson a desarrollar su modelo de análisis no estándar. Ha habido varios enfoques para incorporar los infinitesimales en el análisis. Uno de ellos fue desarrollado por Schmieden y Laugwitz. Ellos consideraron secuencias de números reales bajo la relación de equivalencia donde dos secuencias son iguales si desde algún punto en adelante todas sus coordenadas coinciden. Esto lleva a una extensión de los números reales pero no da un campo (sino más bien un anillo con divisores cero). Sin embargo, todavía se puede hacer bastante análisis en este anillo más grande que incluye los propios infinitesimales.
Aproximadamente al mismo tiempo que Skolem había utilizado resultados fundamentales en la lógica (teoría de modelos) para construir modelos de los números naturales que incluían números naturales infinitamente grandes. Estos modelos no tenían ninguna aplicación, sino que se utilizaban para investigaciones orientadas a la lógica. Skolem llamó a estos modelos de los naturales no estándar modelos de aritmética.
Robinson conocía muy bien el trabajo de Schmieden y Laugwitz y el de Skolem. La gran contribución de Robinson fue darse cuenta de que el modelo de Schmieden-Laugwitz puede mejorarse mucho utilizando las técnicas de Skolem. Por lo tanto, es casi seguro que Robinson eligió el término análisis no estándar debido a los modelos no estándar existentes de aritmética.
noah
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61
"No estándar" se refiere en realidad a los números no estándar, incluyendo los números infinitesimales y los números hiperreales. Fundamentalmente, se puede demostrar que si la estructura que llamamos "los números reales" y denotan $ \mathbb {R}$ existe, entonces también lo hace otra estructura, $ \mathbb {R}^{*}$ que, en ciertas formas útiles, se comporta igual que esa estructura, pero tiene un elemento $ \epsilon $ de tal manera que $0< \epsilon < 1/n$ por cada número entero positivo $n$ . Este nuevo elemento se llama no estándar, o más específicamente infinitesimal, ya que no es cero pero es más pequeño que cada número real estándar positivo.
De la existencia de un solo elemento no estándar se puede probar la existencia de muchos más, incluso hiperreales. Por ejemplo, desde la frase $ \forall x \in \mathbb {R}, \exists y \in \mathbb {R}[0<y<x \vee x<y<0]$ de las bodegas de $ \mathbb {R}$ también tiene de $ \mathbb {R}^{*}$ por lo que obtenemos infinitamente muchos infinitesimales (después de aplicar esa frase a $x= \epsilon $ ). De manera similar, la frase $ \forall x \forall y [x<y \rightarrow 1/x > 1/y]$ con $x= \epsilon $ y $y=1/n$ muestra que $1/ \epsilon $ (o el recíproco de cualquier infinitesimal) es mayor que cualquier real estándar; es decir, es hiperrealista. Estas dos frases son ejemplos de las "formas útiles" que $ \mathbb {R}^{*}$ se comporta como $ \mathbb {R}$ . (Esto es realmente el principio de transferencia .)
Tomas Dabasinskas
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41
Como complemento a las buenas respuestas dadas anteriormente, me gustaría abordar directamente la cuestión del título: "¿Qué es exactamente lo no estándar en el análisis no estándar?"
La respuesta es: "Nada" (el nombre "análisis no estándar" es meramente un título descriptivo de un campo de investigación, elegido por Robinson). Por eso algunos estudiosos tratan de evitar el uso del término en sus publicaciones, prefiriendo hablar de "infinitesimales" o de "análisis en lugar de hiperreales", como por ejemplo en los siguientes libros populares:
Goldblatt, Robert, Conferencias sobre los hiperrealistas. Textos de graduación en matemáticas, 188. Springer-Verlag, Nueva York, 1998
Vakil, Nader, Análisis real a través de los infinitesimales modernos. Enciclopedia de Matemáticas y sus aplicaciones, 140. Cambridge University Press, Cambridge, 2011.
Más específicamente, no hay nada "no estándar" en la teoría de Robinson en el sentido de que trabaja en un marco clásico en el que la mayoría de los matemáticos trabajan hoy en día, a saber, la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, y se basa en la lógica clásica.
Kekoa
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11545
A introducción suave sería Wikipedia, supongo. También describen el críticas a los análisis no estándar allí.
