Encontrar una solución a la ecuación diferencial ordinaria siguiente: $\frac{dy}{dx}=e^{x−y}(e^x−e^y).$

Question

Encontrar una solución a la ecuación diferencial ordinaria siguiente - $$\frac{dy}{dx}=e^{x−y}(e^x−e^y).$ $

Un cambio de variables para que se convierta en variable separable mayo sea necesario.

Answer 1

Con el cambio de variables $z = e^y$ y $\omega = e^x$ la Oda se convierte en

$$\frac{dz}{d\omega} = \omega - z \implies \frac{d}{d\omega}\left(e^{\omega} z\right) = \omega e^{\omega}$$

que da la solución

$$z = e^{-\omega}\int\omega' e^{\omega'}d\omega' = (\omega-1) + Ce^{-\omega}$$

o en términos de las variables originales

$$y(x) = \log\left(e^x - 1 + C\exp(-e^x)\right)$$

donde la integración constante $C$ puede escribirse $C = e^{y(0) + 1}$.