Demuestra que $f(z)$ es un polinomio si $|f(z)| \leq (1 + |z|)^n$

Question

Demuestre que $f(z)$ es un polinomio si $f(z)$ es entera y $|f(z)| \leq (1 + |z|)^n$ $\forall z \in C$.

Esto es lo que escribí para mi demostración: $f(z)$ puede ser representada como una serie de potencias $\sum\limits_{n=0}^\infty a_n z^n$ donde $a_n = \frac{f^n(0)}{n!}$ si elegimos $|z| = r$. Luego, por las Estimaciones de Cauchy, tenemos que $|a_m| = \frac{|f^{(m)} (0)|}{m!} \leq \frac{(1+r)^n}{r^m}$ donde $m > n$, por lo tanto $a_m \to 0$ y $f(z)$ es un polinomio de grado $\leq n$.

Mi solución fue marcada como incorrecta, pero no tenía otras ideas sobre cómo abordar esto. ¿Cuál es la solución correcta?

Answer 1

Me parece bien... quizás aparte de decir "$|a_m|\to 0$, ya que esos coeficientes son constantes, por lo que no pueden "ir" a ninguna parte. Pero esto es algo menor...