Integral de funciones simples en representación estándar y no estándar

Question

Algunas definiciones

Dejemos que $(X,\mathbb X,\mu)$ sea un espacio de medidas. Una función de valor real es simple si sólo tiene un número finito de valores. Un simple $\mathbb X$ -función medible $\varphi$ puede representarse de la forma $$\varphi=\sum_{j=1}^n a_n\chi_{E_j}$$ donde $a_j\in\mathbb R$ y $\chi_{E_j}$ es la función característica de un conjunto $E_j\in\mathbb X$ . Si añadimos la restricción de que el $a_j$ sean distintos y el $E_j$ forman una partición de X, entonces la representación es única y se llama representación estándar de $\varphi$ .

Si $\varphi$ es una función simple en $M^+(X,\mathbb X)$ con la representación estándar anterior, definimos la integral de $\varphi$ con respecto a $\mu$ para ser el número real extendido $$\int\varphi\,d\mu=\sum_{j=1}^n a_j\mu(E_j)$$

Mi pregunta

Si la función simple $\varphi\in M^+(X,\mathbb X)$ tiene la representación (no necesariamente estándar) $$\varphi=\sum_{k=1}^m b_k\chi_{F_k}$$ donde $b_k\in\mathbb R$ y $F_k\in\mathbb X$ se puede demostrar que $$\int\varphi\,d\mu = \sum_{k=1}^m b_k\,\mu(F_k).$$ Mi problema es que no encuentro un limpiar pero rigurosa prueba paso a paso de ese resultado.

Mi idea es reescribir la función $\varphi$ como $\sum_{k=1}^n a_k\chi_{\phi^{-1}(a_k)}$ donde $a_k$ es la suma de algunos $b_k$ términos y $\phi^{-1}(a_k)$ es la unión de las intersecciones de algunos $F_k$ términos. Después de algunas manipulaciones observo que puedo volver a juntar todas las "piezas" y encontrar $\sum_{k=1}^m b_k\,\mu(F_k)$ . Por desgracia, este último pasaje se deja en manos del lector. ¿Hay alguna manera de hacer todo el proceso explícito y a la vez limpio y fácil de seguir?

Answer 1

Supongamos que $m$ es finito. Utilizando la linealidad de la integral, tenemos $$ \int \left(\sum_{k=1}^m b_k1_{F_k}(x)\right)\mu(\mathrm dx) = \sum_{k=1}^m b_k\int1_{F_k}(x)\mu(\mathrm dx) = \sum_{k=1}^mb_k\mu(F_k) $$ independientemente de la forma de la colección $F_k$ .

Si no se quiere utilizar la linealidad, hay que tener en cuenta que dada una colección finita $\{F_k\}_{k=1}^m$ de conjuntos medibles existe una única partición más gruesa $\mathscr G = \{G_i\}_{i=1}^n$ tal que $F_k$ son uniones de algunos elementos en $\mathscr G$ . Dejemos que $g:\{1,\dots,n\}\to2^{\{1,\dots,m\}}$ sea la función índice definida unívocamente por $$ k\in g(i)\quad\Leftrightarrow\quad G_i\subset F_k $$ para cualquier $k\in\{1,\dots,m\}$ y cualquier $i\in \{1,\dots,n\}$ . Además, hay que tener en cuenta que para cualquier $k\in \{1,\dots,m\}$ la inversa de $g$ satisface $$ \{i:k\in g(i)\} = \{i:G_i\subset F_k\} $$ es la partición de $F_k$ en $\mathscr G$ . En particular, $\mu(F_k) = \sum_{i:k\in g(i)}\mu(G_i).$ Entonces tenemos: $$ \varphi(x) = \sum_{k=1}^m b_k1_{F_k}(x) = \sum_{i=1}^n\left(\sum_{k\in g(i)}b_k\right)1_{G_i}(x) $$ donde la primera igualdad es la definición de $\varphi$ y esta última función es estándar simple. Así, $$ \int\varphi\;\mathrm d\mu = \sum_{i=1}^n\left(\sum_{k\in g(i)}b_k\right)\mu(G_i) = \sum_{k=1}^n b_k\left(\sum_{i:k\in g(i)}\mu(G_i)\right) = \sum_{k=1}^n b_k\mu(F_k) $$ donde pasamos de la suma sobre $G_i$ a la suma sobre $b_k$ .

Answer 2

Una prueba algo más constructiva.

$$ f = \sum_{k = 1}^{m} b_{k}\chi_{B_{k}} \implies \int f d\mu = \sum_{k = 1}^{m} b_{k}\mu({B_{k}}) $$

Dejemos que $ \mathcal{I} = \{1,...,m\} $ , $ I \doteq \mathcal{P}(\mathcal{I})\backslash\{\emptyset\} $ .

Dejemos que $ \alpha \in I $ defina: $$ C_{\alpha} = \left( \bigcap_{i \in \alpha} B_{i} \right) \cap \left( \bigcap_{j \in \mathcal{I}\backslash \alpha} X\backslash B_{j} \right) $$

de hecho $ \alpha \neq \beta \implies C_{\alpha} \cap C_{\beta} = \emptyset $ .

Dejemos que $ \sim $ relación de equivalencia sobre $ I $ definido como $ \alpha \sim \beta \iff \sum_{k \in \alpha} b_{k} = \sum_{k \in \beta}b_{k} $ . Seja $ a_{\bar{\alpha}} \doteq \sum_{k \in \alpha}b_{k} $ bien definido en $ I/\sim $ , dejemos que $ A_{\bar{\alpha}} \doteq \sqcup_{\gamma \in \bar{\alpha}}C_{\gamma} $ .

Declaración: el representante de la can. de $ f $ es:

$$ f = \sum_{\bar{\alpha} \in I/\sim}a_{\bar{\alpha}}\chi_{A_{\bar{\alpha}}} $$

por lo tanto:

$$ \int f d\mu = \sum_{\bar{\alpha} \in I/\sim}a_{\bar{\alpha}}\mu(A_{\bar{\alpha}}) $$

pero $ a_{\bar{\alpha}}\mu(A_{\bar{\alpha}}) = a_{\bar{\alpha}}\sum_{\gamma \in \bar{\alpha}} \mu(C_{\gamma}) = \sum_{\gamma \in \bar{\alpha}}a_{\bar{\alpha}}\mu(C_{\gamma}) = \sum_{\gamma \in \bar{\alpha}}a_{\bar{\gamma}}\mu(C_{\gamma}) = \sum_{\gamma \in \bar{\alpha}}(\sum_{i \in \gamma}b_{i})\mu(C_\gamma)$ Así que..:

$$ \int f d\mu = \sum_{\bar{\alpha} \in I/\sim}\sum_{\gamma \in \bar{\alpha}}\sum_{i \in \gamma}b_{i}\mu(C_\gamma) $$

por otro lado:

$$ B_{k} = \bigsqcup_{\gamma \in I(k \in \gamma)}C_{\gamma} \implies \mu(B_{k}) = \sum_{\gamma \in I(k \in \gamma)} \mu(C_{\gamma}) $$

$$ \sum_{i = 1}^{m}b_{i}m(B_{i}) = \sum_{i = 1}^{m}\sum_{\gamma \in I(i \in \gamma)} b_{i} \mu(C_{\gamma}) = \sum\{b_{i}\mu(C_{\gamma}):i \in \{1,...,m\} \land \gamma \in I \land i \in \gamma \} = $$

$$ = \sum_{\gamma \in I} (\sum_{i \in \gamma} b_{i}) C_{\gamma} = \sum_{\bar{\alpha} \in I/\sim}\sum_{\gamma \in \bar{\alpha}}\sum_{i \in \gamma} b_{i}C_{\gamma} = \int f d_{\mu \quad \square} $$