Extensiones de Galois de grados $p$ $p^{n-1}$ dado una extensión de Galois de $p^n$

Question

Supongamos $K$ es una extensión de Galois de un campo de $F$ grado $p^n$ $p$ de una prima.

Quiero ver si hay extensiones de Galois de grados $p$$p^{n-1}$$F$.

Si $G=\text{Gal}(K/F)$,$|G|=p^n$. Si $G$ es abelian, sé que hay subgrupos de orden $p^i$$0\leq i\leq n$, por lo que hay subgrupos de órdenes de $p^{n-1}$$p$, y sus correspondientes campos fijos son de grados $p$$p^{n-1}$$F$, y son extensiones de Galois desde los subgrupos son, obviamente, normal en $G$.

Pero si $G$ no es abelian, es esto cierto?

Answer 1

Un grupo de orden $p^n$ siempre tiene subgrupos de orden $p^{n-1}$ (de hecho, todas de máxima subgrupos son de orden $p^{n-1}$), y que siempre son normales; y siempre tiene subgrupos de orden $p$ que son normales (de hecho central).

Para ver esto, hacemos uso de la clase ecuación. Recordar que si $G$ es un grupo finito y $Z(G)$ es el centro del grupo (el conjunto de todos los elementos de la $g\in G$ tal que $gx=xg$ todos los $x\in G$), luego $$|G| = |Z(G)| + \sum [G:C(x_i)],$$ donde $x_1,\ldots,x_n$ son representantes de las clases conjugacy de $G$ con más de un elemento. Si $|G|=p^n$, $[G:C(x_i)]$ es un múltiplo de a $p$ por cada $i$, por lo que teniendo en cuenta la ecuación módulo $p$ llegamos a la conclusión de que $|Z(G)|\equiv 0 \pmod{p}$. Desde $Z(G)$ tiene al menos un elemento (la identidad), debe ser trivial.

Desde $Z(G)$ es trivial, y es abelian, tiene un subgrupo de orden $p$. Este subgrupo es normal en $G$. Esto le da un subgrupo normal de orden $p$, y, por tanto, un campo de grado $p^{n-1}$$F$, que es de Galois.

Para demostrar que todas máxima subgrupos son de orden $p^{n-1}$ y que todos ellos son normales, procedemos por inducción sobre $n$. Si $n=1$ o $n=2$, $G$ es abelian y sabemos que el resultado es cierto. Suponga que el resultado es cierto para los grupos de orden $p^{n-1}$, y deje $G$ ser de orden $p^n$.

Deje $N$ ser un subgrupo de $Z(G)$ orden $p$, y deje $H$ ser un subgrupo maximal de a $G$. Si $N\subseteq H$, entonces considere el $G/N$. Esto tiene el fin de $p^{n-1}$, e $H/N$ es máxima (por el Entramado Teorema de Isomorfismo); por lo tanto $H/N$ es de orden $p^{n-2}$ y normal en $G/N$, lo $|H|=|N|\times|H/N| = p^{n-1}$, y es normal en $G$.

Si $N$ no está contenido en $H$, $HN$ es un subgrupo de $G$ que contiene $H$ (desde $N$ es central, es normal, por lo $HN$ es un subgrupo), por lo tanto $HN=G$. Desde $|G|=p^n = |HN| = |H|\,|N|/|H\cap N|$, y $|H\cap N| = 1$ ($N$ es cíclico de orden $p$ y no contenida en $H$),$|H|=p^{n-1}$. Por otra parte, dado cualquier $g\in G$, podemos escribir $g=hn$$h\in H$$n\in N$. A continuación, $gHg^{-1} = hnHn^{-1}h^{-1} = hHnn^{-1}h^{-1} = hHh^{-1} =H$ (con la segunda igualdad debido a que $n$ es central). Por lo tanto, $H$ es normal en $G$.

Por lo tanto, cada subgrupo maximal de a $G$ orden $p^{n-1}$ y es normal.

En conclusión, siempre se puede encontrar subgrupos normales de $G$ orden $p$ y de orden $p^{n-1}$, cuando se $|G|=p^n$.

Añadido. Ahora usted puede usar esto para mostrar que $G$ siempre tiene subgrupos de orden $p^i$ que son normales para cada $i$, $0\leq i\leq n$.

Proceder por inducción en $n$. El resultado se mantiene para los grupos de orden $p$$p^2$. Suponga que el resultado se cumple para cualquier grupo de orden $p^n$, y deje $G$ tienen orden de $p^{n+1}$. Deje $N$ ser un subgrupo normal de orden $p$, y considerar la posibilidad de $G/N$. A continuación, $G/N$ tiene subgrupos $\overline{H_i}$ orden $p^i$ que son normales en $G/N$, $i=0,\ldots,n$. Estos corresponden a los subgrupos $H_i$ $G$ que contengan $N$, de la orden de $p^{i+1}$, y que son normales en $G$. Por lo $G$ tiene subgrupos de orden $p,\ldots,p^{n+1}$ que son normales; junto con el trivial grupo de orden $p^0$, esto le da subgrupos de orden $p^i$ que son normales para cada $i$, $0\leq i\leq n+1$. $\Box$

Answer 2

Recuerdo haber visto esta pregunta en el Dummit & Foote del Álgebra Abstracta, y si vas a la página 188 de este libro, usted verá que el Teorema 1 (3) le da ese $\mathrm{Gal}(K/F)$ tiene un subgrupo normal de orden $p^k$$0 \le k \le n$, lo que te da la Galois extensiones que usted estaba buscando. Las pruebas están en el libro.

Espero que ayude,