Inyección biyectiva entre derangements y permutaciones buenas

Question

Una buena permutación es una permutación de los números $1$ a $n$, tal que $i$ no es seguido por $i+1$ en ninguna posición de la permutación, para cualquier $i \in \left\{1,2,\ldots,n-1\right\}$. Llama al número de tales permutaciones $S(n)$.

Además, $D(n)$ es el número de derangements de $\left\{1,2,\ldots,n\right\}$.

Se me pide mostrar que $S(n) = D(n) + D(n-1)$.

Nota que una solución algebraica es posible, pero necesito un argumento combinatorio es decir, mostrando bijecciones entre los dos conjuntos.

Answer 1

Esto de hecho no funciona; ver los comentarios. Luego ver las respuestas a esta pregunta.

Pista: Sea $\pi=\pi_1\pi_2\dots\pi_n$ una permutación de $[n]=\{1,\dots,n\}$. Defina un mapa

$$\hat\pi:[n]\to[n]:\pi_k\mapsto\begin{cases} \pi_{k+1}-1,&\text{si }k

$\hat\pi$ es una permutación de $[n]$, y de hecho el mapa $\pi\mapsto\hat\pi$ es una biyección en $S_n$, el conjunto de permutaciones de $[n]$.

Suponga que $\pi$ es buena. Entonces $\hat\pi$ no tiene ningún punto fijo en $[n-1]=\{1,\dots,n-1\}$. ¿Puede completar los detalles y terminar a partir de allí?