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No siempre es posible expresar dos matrices diagonales como polinomios de alguna matriz.

Estoy buscando una prueba ilustrativa de la siguiente afirmación:

No hay polinomios $p, q$ y una matriz $X$ sobre $GF(2)$ tales que $p(X)=A:=\operatorname{diag}(1,0,0)$ y $q(X)=B:=\operatorname{diag}(0,1,0)$.

(Nota que el campo subyacente es $GF(2)$, no $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C$.) La afirmación se originó a partir de un comentario que hice en MSE/562509 y también está relacionado con MSE/326293 y MO/34314. Verifiqué por computadora que la afirmación es cierta. Aquí hay una prueba que considero insatisfactoria:

Supongamos que $p(X)=A$ y $q(X)=B$. Como $A,B\neq 0,I$, por el teorema de Cayley-Hamilton, solo hay seis opciones posibles de $p$ o $q$, es decir, $$ p(x),q(x)\in\{x,\ x+1\}\cup\{x^2,\ x^2+1\}\cup\{x^2+x,\ x^2+x+1\}=S_1\cup S_2\cup S_3 \textrm{ (digamos)}. $$ Dado que $A$ difiere de $B$ y $B+I$, debemos tener $p\in S_m$ y $q\in S_n$ para algún $m\neq n$. Por lo tanto, ya sea $X$ o $X+I$ está dentro de $\operatorname{span}\{p(X),q(X)\}=\operatorname{span}\{A,B\}$. Por lo tanto, $X$ debe ser una matriz diagonal. Como algunos dos entradas diagonales $x_{ii}$ y $x_{jj}$ de $X$ son iguales entre sí (porque $X$ tiene tres entradas diagonales pero $GF(2)$ tiene tamaño dos), se deduce que $a_{ii}=a_{jj}$ y $b_{ii}=b_{jj}$, lo cual es una contradicción.

Aunque la prueba anterior no es larga, siento que son solo un montón de detalles técnicos pero no una prueba reveladora. ¿Alguien tiene una mejor idea?

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Muchas gracias por esta recompensa. Saludos cordiales.

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Schneems Puntos 3208

Nota que si $p(X)=\text{diag}(1,0,0)$ y $q(X)=\text{diag}(0,1,0)$ entonces X conmuta con $p(X)$ y $q(X)$, lo que implica que $X=\text{diag}(x_1,x_2,x_3)$.

Nótese que $x_1\neq x_2$, porque $1=p(x_1)\neq p(x_2)=0$. Nótese que $p(x_1)+q(x_1)=1+0=1$ y $p(x_2)+q(x_2)=0+1=1$. Así, $p(x_3)+q(x_3)=1$, porque $x_3=x_1$ o $x_2$, ya que el campo tiene dos elementos.

Por lo tanto, $p(X)+q(X)=Id_{3\times3}$. Esto es una contradicción.

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Gracias por tu agradable prueba. De hecho, revela el punto crucial de que $X$ es diagonal. Cuando escribí la pregunta, ese hecho no se me ocurrió.

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Gracias por siempre ayudarnos. Atentamente.

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