Es $\varphi$ un homomorphism?

Question

Definir $\varphi:\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}_6$$\varphi(a,b)=[a+b]_6$.

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Para mostrar $\varphi$ preserva, además,

$\hspace{100pt} \varphi((a,b)+(c,d))=\varphi((a,b))+\varphi((c,d))$.

$\varphi((a,b)+(c,d))=\varphi((a+c),(b+d))=[a+c]_6+[b+d]_6$

$\hspace{73pt}$$=[a+b]_6+[c+d]_6=\varphi((a,b))+\varphi((c,d))$

$\\$

Para mostrar $\varphi$ preserva la multiplicación,

$\hspace{100pt} \varphi((a,b)\cdot(c,d))=\varphi((a,b))\cdot\varphi((c,d))$.

$\varphi((a,b)\cdot(c,d))=\varphi(ac,bd)=[ac]_6+[bd]_6$

$\varphi((a,b))\cdot \varphi((c,d))=[a+b]_6\cdot[c+d]_6=[(a+b)\cdot(c+d)]_6=[ac+ad+bc+bd]_6$

$\\$

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Por lo que puedo decir, la multiplicación no se conserva. Sin embargo, mi libro dice que $\varphi$ es un anillo homomorphism, por lo que cualquiera de multiplicación debe ser preservado o el libro es malo. Me estoy perdiendo algo?

Answer 1

Tienes razón, esta $\phi$ no es un anillo de homomorphism, sólo un homomorphism entre el subyacente ableian grupos. Considerar, por ejemplo,$(1,0)$$(0,1)$,$(1,0)\cdot(0,1)=(0,0)$, por lo que $$\phi((1,0)\cdot(0,1))=[0]_6\ \ne \ [1]_6=\phi(1,0)\cdot\phi(0,1)\,.$$