Por un lado, a partir de la representación de los productos (no tomamos en cuenta el $f \equiv 0$, donde la existencia de una raíz cuadrada es trivial)
$$f(z) = e^{a(z)} z^{2\nu_0} \prod \left(1-\tfrac{z}{b_k}\right)^{2\nu_k}e^{p_k(z)}\tag{1}$$
de $f$, podemos obtener directamente de lo que debe ser una representación de los productos de una raíz cuadrada de $f$:
$$g(z) = e^{a(z)/2} z^{\nu_0} \prod\left(1-\tfrac{z}{b_k}\right)^{\nu_k} e^{p_k(z)/2},\tag{2}$$
y entonces, al ver que el producto en $(2)$ converge localmente uniformemente en todos los de $\mathbb{C}$. Que es tal vez un poco tedioso si se hace con rigor.
Podemos evitar que el tedio si utilizamos el Weierstraß producto teorema de una manera diferente:
Hay toda una función de $g_1$ que tiene ceros de orden $\nu_k$ $b_k$ ($b_0 = 0$y posiblemente $\nu_0 = 0$), y ningún otro ceros. A continuación, la función
$$q(z) = \frac{f(z)}{g_1(z)^2}$$
es todo y no tiene ceros. Por lo tanto $q$ tiene un logaritmo, $q(z) = e^{g_2(z)}$. Ahora está claro que $g(z) = g_1(z) e^{g_2(z)/2}$ es toda una raíz cuadrada de $f$.
Una forma alternativa para establecer la existencia de una raíz cuadrada de $f$ considera que la derivada logarítmica
$$h(z) = \frac{f'(z)}{f(z)}.$$
$h$ es toda una función de meromorphic, con el simple polos en los ceros de $f$, donde el residuo en $b_k$$2\nu_k$, y ningún otro de los polos. Por lo tanto, el residuo de $\tilde{h} = \frac{1}{2}\cdot h$ en todos los polos es un número entero, y por lo tanto
$$g(z) = \exp \left(c_0 + \int_{z_0}^z \tilde{h}(\zeta)\,d\zeta\right),$$
donde
- $z_0$ es un punto arbitrario tal que $f(z_0) \neq 0$,
- $c_0$ es elegido de manera que $e^{2c_0} = f(z_0)$,
- y la integral es sobre un arbitrario diferenciable a trozos camino de $z_0$ $z$que no pase a través de cualquier cero de $f$,
es una bien definida holomorphic de la función en $\mathbb{C}\setminus f^{-1}(\{0\})$ $g(z)^2 \equiv f(z)$ no. De que, de ello se sigue que los ceros de $f$ son extraíbles singularidades de $g$, y la identidad de $g(z)^2 \equiv f(z)$ mantiene en todos los de $\mathbb{C}$ después de la eliminación de los extraíbles de singularidades.
Nota: los mismos argumentos trabajar en cualquier conecta dominio, pero en un dominio que no es simplemente conexa, no todos los holomorphic funciones con todos los ceros de incluso el fin de tener una raíz cuadrada. También, los argumentos, mutatis mutandis, también trabajo para cualquier $m$-ésima raíz de $f$ si el orden de todos los ceros de $f$ es un múltiplo de a $m$.
