La continuidad de una serie de funciones

Question

$(a_n)$ una secuencia de función continua $a_n:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$. No creciente, no negativo. Si $\sum a_n(x)$ convergers para todos los $x$, entonces la función de $g(x)=\sum a_n(x)$ es continua.

EDIT: Llame a $g_n(x)=\sum_{k=0}^n a_n(x)$, esto es continua y $g_n(x)\rightarrow g(x)$.

$|g(x)-g(x_0)|\leq|g(x)-g_n(x)|+|g_n(x)-g_n(x_0)|+|g_n(x_0)-g(x_0)|$. El segundo sumando es menor que $\varepsilon$ si $|x-x_0|\leq\delta$, yo quiero estimar el primer y tercer sumando. Ahora

$|g(x)-g_n(x)|\leq\sum_{k=n+1}^\infty a_k(x)$ y debido a que la serie es convergente, esto es menos que el $\varepsilon$ si $n>n_1$. Lo mismo para el tercer sumando si $n>n_2$. Así que si tomamos $N=\mathrm{max}\{{n_1,n_2}\}$, luego tenemos la tesis. No debería ser algo mal, porque no estoy usando la hipótesis de que el $a_n$ son no creciente, me podrían ayudar a encontrar el error?

Answer 1

Nate ya ha señalado el problema con la prueba. Con respecto a una solución: ¿Está usted familiarizado con el Weierstrass $M$-prueba? Un enfoque podría ser la utilización de este, señalando que $a_n(t)$ es majorized por $a_n(x)$ siempre $t\in[x,\infty)$. Esto le dará la convergencia uniforme (de ahí la continuidad) en cada intervalo de $[x,\infty)$. (La prueba de la prueba de Weierstrass es extremadamente simple, y se da en la página de la Wikipedia he enlazado.)

Otro enfoque sería Dini del teorema (de nuevo, muy simple prueba dada en la página de la Wikipedia) en compacto conjuntos, usando el hecho de que la diferencia de $g-g_n=\sum_{k=n+1}^{\infty}a_n(x)$ es no creciente en ambos $n$$x$.

Como una nota del lado, ambos de estos teoremas son muy fácilmente demostrado (es decir, no más difícil que la solución de este problema) y las ideas que participan en las pruebas vienen muy a menudo en cuestiones como esta.

Answer 2

Tenga cuidado con los cuantificadores. Su $\delta$ depende de $n$, y, a continuación, cambie $n$ dependiendo $x$.

Le sugiero que escriba su (corregido) prueba muy cuidadosamente, ser explícito acerca de todas las opciones que usted hace (por ejemplo, ¿cómo es exactamente lo que usted elija $\delta$, y ¿cómo se puede demostrar que esta $\delta$ hace lo que quiere?).

No utilice el supuesto de que el $a_n$ son no negativos; ambos son necesarios, como Nick Strehlke señaló.