¿Cómo puedo probar $\int_{0}^{2a}f(x) dx = \int_{0}^{a}f(x)dx +\int_{0}^{a}f(2a-x)dx$

Question

Estoy pegado en esto, yo era capaz de demostrar $\int_{0}^{a}f(x) dx = \int_{0}^{a}f(a-x)dx $ sólo por medio de la sustitución con $t = a - x$, pero no estoy seguro acerca de esto, he probado unos cuantos subsitutions, tales como $t = 2a - x$, pero ninguno parece funcionar? Pls. ayuda

Gracias

Answer 1

Su idea es irregular. Dejando $u=2a-x$ da $$du=-dx\qquad u(0)=2a\qquad u(a)=a $$ Esto implica $$ \int_0^a f(2a-x)\,dx=-\int_{2a}^af(u)\,du $$ Se puede terminar con el problema?

Answer 2

Por un lado, $$\tag{1}\int_{0}^{2a}f(x) dx = \int_{0}^{a}f(x)dx +\int_{a}^{2a}f(x)dx.$$ Por otro lado, si tenemos en cuenta $\displaystyle\int_{a}^{2a}f(x)dx,$ por medio de la sustitución $y=2a-x$, luego tenemos $$\tag{2}\int_{a}^{2a}f(x)dx=\int_{a}^{0}f(2a-y)(-dy)=\int_0^af(2a-y)dy.$$ La combinación de $(1)$$(2)$, se obtiene la necesaria expresión.

Answer 3

Como publicado antes de usar la variable u=2a-x va a resolver su problema. Creo que el truco está en empezar por el resultado y tratar de encontrar la primera expresión. Es bastante inmediata de esa manera. Usted siempre tiene la posibilidad de presentar al revés por lo que se ve como resolviste el problema, tal como solicitó.