¿Son lo mismo los vectores y los covectores?

Question

En el espacio euclidiano, no solemos distinguir entre vectores y covectores (o vectores duales o formas 1 o como quieras llamarlos), porque los espacios se solapan. Sin embargo, un amigo físico (yo también soy licenciado en física, por cierto) intentaba convencerme de que no sólo los vectores euclidianos y los covectores son lo mismo, sino que CUALQUIER vector es equivalente a un covector. Su razonamiento es que, como hay un isomorfismo entre ellos y podemos convertir uno en otro con el tensor métrico, no hay ninguna diferencia real entre ellos. Mi argumento es que un isomorfismo entre objetos matemáticos no es suficiente para llamar a dos cosas iguales. Por ejemplo, hay un isomorfismo entre los grupos aditivos de $\Bbb R$ y $\Bbb R^2$ pero seguramente nadie diría que $\Bbb R$ es la MISMA cosa que $\Bbb R^2$ .

Entonces, ¿cuál de los dos tiene razón? ¿Son los vectores lo mismo que los covectores?

Answer 1

Para añadir a todas las respuestas anteriores, hay un ejemplo delicioso en el texto "Mathematics for Physics" de Stone y Goldbart, (Apéndice A.3), para aclarar la diferencia entre vectores y covectores, que no me resisto a citar aquí.

Una forma de hacer hincapié en la distinción entre $V$ y $V^*$ es considerar el espacio $V$ de pedidos de fruta en una tienda de comestibles. Supongamos que el tendero sólo tiene existencias de manzanas, naranjas y peras. Los elementos de $V$ son entonces vectores como

$x = 3 \text{ kg apples }+ 4.5 \text{ kg oranges } + 2 \text{ kg pears.} $

Toma $V^*$ para ser el espacio de las posibles listas de precios, siendo un elemento de ejemplo

$f = (\$ 3,00/\text{kg}) \text{ manzanas}^* + ( \$2.00/\text{kg}) \text{ oranges}^* + (\$ 1,50/texto{kg}) \text{ peras}^*$

La evaluación de $f$ en $x$

$f(x) = 3 \times \$ 3,00 + 4,5 \N - tiempos \$2.00 + 2 \times \$ 1.50 = 21.0$

y luego devuelve el coste total del pedido. No debería tener ninguna dificultad para distinguir entre una lista de precios y una caja de fruta.

Answer 2

Si $V$ es un espacio vectorial de dimensión finita, entonces existe un isomorfismo $V\cong V^*$ bajo el cual todo vector en $V$ puede interpretarse como un covector (mapa lineal $V\to $ el campo escalar). Sin embargo, va a haber muchos mapas de este tipo, y en general no hay canónico tal isomorfismo, por lo que dado un vector $v\in V$ , que covierte en $V^*$ que corresponde depende de un arbitrario elección del isomorfismo $V\cong V^*$ .

Tu amigo sí observa una herramienta mental válida y útil en matemáticas: identificar las cosas cuando son "esencialmente iguales". Si alguna vez hay una canónico isomorfismo $A\cong B$ entre dos objetos que satisfacen algún conjunto de propiedades deseables (lo que es deseable depende del contexto), entonces podemos pensar en cualquier $a\in A$ como el correspondiente $b\in B$ . (A menudo estamos hablando realmente de un colección de objetos $A$ que se construyen o resultan de algún tipo de proceso o caracterización, y podemos utilizar el lenguaje de teoría de categorías (propiedades universales, isomorfismos naturales). En particular, no existe un isomorfismo natural entre el endofuntor identidad y el endofuntor "espacio dual" en la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita sobre un campo dado).

Pero esta idea de identificación no funciona cuando no existe un isomorfismo único o canónico entre dos objetos o estructuras dadas. En efecto, $\{1,2,3\}\cong\{\rm\color{Red}{red},\color{Green}{green},\color{Blue}{blue}\}$ . Pero si alguien afirmara que "los números $1,2,3$ son básicamente colores", se podría preguntar simplemente "si $1$ es un color, ¿qué color es específicamente?" y no habría una respuesta correcta. Siempre que haya un isomorfismo único o canónico $A\cong B$ , dada una $a\in A$ La pregunta "¿qué $b\in B$ es $a$ ¿básicamente?" hace tienen una única respuesta correcta; es $\phi(a)$ , donde $\phi:A\to B$ es el mencionado isomorfismo.

Answer 3

Ampliando un poco mi comentario:

Una forma sencilla de ver que los vectores y covectores no son tan ingenuamente identificables como dice tu amigo es darse cuenta de que hay entornos en los que los espacios que forman no son naturalmente isomorfos. Se desarrollan de forma independiente en los colectores abstractos, a través de las estructuras tangente y cotangente, respectivamente.

En particular, la única razón por la que son naturalmente isomorfos en el espacio euclidiano es la presencia de una métrica riemanniana natural. Es esta métrica la que te da la estructura de tipo que necesitas para convertir covectores (en realidad campos covectoriales) en vectores (en realidad campos vectoriales). Este mapeo se llama "isomorfismo musical". Se puede obtener un mapeo similar cada vez que se tenga una dos-forma no degenerada, por ejemplo, una forma simpléctica también funcionaría. Pero en ausencia de tal estructura --en una variedad abstracta lisa de dimensión finita-- no existe tal isomorfismo natural, y no se pueden identificar naturalmente las estructuras tangente y cotangente (aunque cualquier espacio tangente y cotangente dado es isomorfo, por un argumento dimensional).

Esta es una distinción realmente importante, incluso en física, como muchos han señalado. Aparecerá cuando aprendas a integrar formas diferenciales; no puedes hablar de "gradientes" a menos que tengas una métrica de Riemann. También aparecerá cuando aprendas la estructura simpléctica de la mecánica hamiltoniana: el escenario natural para ello es el haz cotangente, pero puedes utilizar la transformación de Legendre, algo así como el isomorfismo musical, para llevar esa física al haz tangente, lo que te da la mecánica lagrangiana.

EDITAR

También puede interesarle la siguiente discusión sobre cómo "visualizar" un covector, que puede ayudar a dar un sentido intuitivo de por qué, aunque sean isomorfos, los covectores y los vectores son cosas diferentes:

http://www.physicsinsights.org/pbp_one_forms.html