Estoy dados tres números reales $x_0, x_1, x_2$ y el siguiente número en la secuencia se define como la media de los tres números reales. Así: $$x_a=\tfrac{1}{3} \cdot (x_{a-3} + x_{a-2} + x_{a-1})$$
Yo estoy empezando con el aprendizaje acerca de la convergencia de las secuencias, y quería saber cómo la prueba de que esta sucesión es convergente y, si es posible, ¿cuál es el valor de $x_0, x_1$ $x_2$
Gracias de antemano Bromista
Llame a los pesos de los tres primeros términos de $a,b,c$ $x_n$ $a_n,b_n,c_n$ Podemos ver que $(a_1,a_2,a_3)=(1,0,0),(b_1,b_2,b_3)=(0,1,0),(c_1,c_2,c_3)=(0,0,1)$: $$a_{n+3}=\frac{a_{n+2}+a_{n+1}+a_n}{3}$$ Vamos a llamar a las raíces de $3x^3=x^2+x+1$$1,\alpha,\beta$. Ahora, resolviendo el sistema lineal en $k_{a_1},k_{a_2},k_{a_3}$: $$k_{a_1}+k_{a_2}\alpha^1,k_{a_3}\beta^1=a_1=1$$ $$k_{a_1}+k_{a_2}\alpha^2,k_{a_3}\beta^2=a_2=0$$ $$k_{a_1}+k_{a_2}\alpha^3,k_{a_3}\beta^3=a_3=0$$ Esto nos permite escribir $a_n=k_{a_1}+k_{a_2}\alpha^n,k_{a_3}\beta^n$. Tomando $\lim_{n\to +\infty} a_n$ es entonces fácil señalando que $|\alpha|,|\beta|<1$, y obtenemos: $$\lim_{n\to +\infty}a_n=\lim_{n\to +\infty}k_{a_1}+k_{a_2}\alpha^n,k_{a_3}\beta^n=k_{a_1}=\frac16$$ Simlarly $$\lim_{n\to +\infty}b_n=\frac13$$ $$\lim_{n\to +\infty}c_n=\frac12$$ Así que, de hecho, nuestro límite converge a: $$\lim_{n\to \infty} x_n=\frac{a+2b+3c}{6}=\frac{x_1+2x_2+3x_3}{6}$$ Lo cual es un buen resultado que se plantea para un mejor prueba.
Si usted tiene $3$ términos de $x_n,x_{n-1},x_{n-2}$, entonces usted tiene
$$x_{n+1} = (1/3)x_n + (1/3)x_{n-1} + (1/3)x_{n-2}$$
Deje $A$ ser la máxima diferencia pares entre los tres términos,$x_n,x_{n-1},x_{n-2}$. Entonces, por ejemplo,
$$|x_{n+1} - x_{n-1}| = |(1/3)x_n - (2/3)x_{n-1} + (1/3)x_{n-2}| \leq (2/3)A$$
y del mismo modo se puede demostrar que los $|x_{n+1} - x_n| \leq (2/3)A$.Por lo tanto la magnitud de la diferencia entre los dos términos $x_m,x_n$ $m,n \geq N$ es menor o igual a una serie geométrica que tiende a cero, como se $N \to \infty$, por lo que su secuencia es de Cauchy y por lo tanto convergente. La secuencia converge a algún límite $a_0x_0 + a_1x_1 + a_2x_2$ cuando la $a_i$ son fijos constantes. Usted puede resolver por ellos señalando que $a_i = \lim_{n \to \infty} a_{i,n}$ donde $a_{i,n} = (1/3)a_{i,n-1} + (1/3) a_{i,n-2} + (1/3) a_{i,n-3}$ y, por ejemplo, se tienen las condiciones iniciales $a_{1,0} = 1, a_{1,1} = 0, a_{1,2} = 0$. La forma general de la solución es $a_{i,n} = A_1c_1^n + A_2c_2^n + A_3c_3^n$ cuando la $c_j$ son soluciones para el polinomio $c^3 - (1/3)c^2 - (1/3)c - 1/3 = 0$ e las $A_j$ son los coeficientes que resolver mediante el uso de los valores iniciales $a_{i,0},a_{i,1},a_{i,2}$. Nota: $c_1 = 1$ es una solución de la ecuación polinómica, y usted tendrá que las otras dos soluciones $c_2$ $c_3$ son complejos conjugados que tienen magnitud menos de $1$. Así, cuando se utilice el límite de $n \to \infty$ a resolver para $a_i$, obtendrá $a_i = A_1$, el coeficiente de la raíz $c_1 = 1$.
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