¿Existe un continuo de $g(x,t)$ de manera tal que cada continuas$ f(x)$ es igual a $g(x,t)$ algunos $t$ y todos los $x$??

Question

Hay un continuo $g(x,t)$ de manera tal que cada continuas $f(x)$ es igual a $g(x,t)$ algunos $t$ y todos los $x$?

$f$ es de $[0,1]$ a sí mismo con $f(0)=0$ $f(1)=1$ y es lisa o continua (a tu elección)

$g$ se define en $[0,1]\times(0,1)$ o $[0,1]\times[0,1]$ (a tu elección)

Lo que si se requiere que exista una única $t$ por cada $f$?

Hay una simple explícita tal $g$?

Answer 1

Actualización: he modificado mi respuesta para dar cuenta de las condiciones de frontera,$f(0)=0$$f(1)=1$. Tales funciones continuas restringido a $I_2$ dar todo de $C(I_2)$.

Para $n>1$, definir $I_n=[1/2^n,1-1/2^n]$. Desde $g$ es uniformemente continua en a $I_n\times I_2$, el mapa de $\Phi_n: I_n\to C(I_2)$ $t\mapsto g(t,x)|_{I_2}$ es continuo desde la $I_n$ en el espacio de Banach $C(I_2)$.

El conjunto de funciones de $(g(t,x)|_{I_2})_{0<t<1}=\cup_n \Phi_n(I_n)$ $\sigma$- compacto en $C(I_2)$ y, por tanto, un subconjunto estricto de $C(I_2)$. Por lo tanto $(g(t,x))_{0<t<1}$ es un subconjunto estricto de $\{f\in C[0,1]: f(0)=0, f(1)=1\}.$

Answer 2

Deje $X$ denotar el espacio de continua mapas de $f:[0,1]\to[0,1]$ tal que $f(0)=0$$f(1)=1$, con el uniforme de la métrica. A continuación, $X$ es un completo espacio métrico, y es fácil ver que cada subconjunto compacto de $X$ ha vacío interior. En particular, se sigue por la categoría de Baire teorema de la que $X$ no $\sigma$-compacto.

Ahora vamos a $g:[0,1]\times(0,1)\to[0,1]$ ser cualquier mapa continuo y deje $\hat{g}:(0,1)\to X$ denotar la inducida por el mapa de $t\mapsto (x\mapsto g(x,t))$. A continuación, $\hat{g}$ es continua (esto se desprende de un simple argumento mediante la compacidad de $[0,1]$). Desde $(0,1)$ $\sigma$- compacto, la imagen de $\hat{g}$ $\sigma$- compacto. En particular, $\hat{g}$ no puede ser surjective.

Esta se asienta su pregunta al $f$ sólo es necesario ser continua. En el buen caso, el mismo argumento se aplica, debido a que por una modificación de menor importancia del argumento en esta respuesta, el subconjunto de $X$ que consta de todos los lisas de mapas no es $\sigma$-compacto.

Answer 3

Si $f$ es permitido ser sólo un polinomio, que la respuesta es sí, pero el $g$ es realmente salvaje de la función.

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Comience con algunas anotaciones. Deje $\mathcal{P}_n$ ser el espacio de polinomios de grado mayor $n$. Vamos a utilizar mucho el hecho de que $\mathcal{P}_n$ es isomorfo a $\mathbb{R}^{n+1}$.

Deje $s_n:[0,1] \rightarrow [-1,1]^n \subset \mathbb{R}^n \cong \mathcal{P}_{n-1}$ ser un espacio de llenado de la curva tal que $s_n(0)=s_n(1)=0$.

Con todo, podemos empezar a construir la función $g$. Primero construimos la función $G:[0,\infty) \rightarrow \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$.

$$ G(t) = n s_n(x-n) \qquad \text{para }n\leq x < n+1 $$

La última cosa a hacer es reinterpretar $G$. Imagen de $G$ es el espacio $c_{00}$, el espacio de secuencias con un número finito distinto de cero elementos, que es isomorfo al espacio de todos los polinomios $\mathcal{P}$, por lo tanto, podemos entender $G$ como función de $[0,\infty) \rightarrow \mathcal{P}$. Deje $h:(0,1)\rightarrow [0,\infty)$ ser continua surjective función. A continuación, definimos $g$ $$ g(x,t) = G(h(t))(x) $$

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Esto se puede generalizar. Si $f\in X$ donde $X$ es la función del espacio que puede ser escrito como contables de la unión de finitely dimensiones de los subespacios, entonces la respuesta es sí. Podemos proceder de la misma manera y construir la curva continua $\gamma: (0,1)\rightarrow X$ que llena todo el espacio.

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Supongo que la pregunta puede ser contestada correctamente si usted averiguar qué es lo que se sabe sobre el espacio llenado de las curvas, por desgracia, yo no sé mucho acerca de ellos y no tienen el tiempo para buscarlo ahora mismo.