Normas de Hilbert inequivalent en dado espacio del vector

Question

Supongamos que tenemos un espacio del vector $X$. Que $\|\cdot\|_1$ $\|\cdot\|_2$ ser dos diferentes normas completas en $X$ algo. $X$ equipadas con $\|\cdot\|_j, \ j\in\{1,2\}$ es un espacio de Hilbert.

¿Hay ejemplos simples de estas normas, que son inequivalent?

Esta pregunta surge de esta discusión.

Answer 1

Dudo que hay ejemplos sencillos. Tenga en cuenta que si las dos normas son comparables deben ser equivalentes, por ejemplo, la asignación abierta teorema. (Si un delimitada lineal mapa de un espacio de Banach a otro es invertible qua lineal mapa, a continuación, la inversa también es limitada.) Esto hace que sea difícil dar un simple ejemplo claro; cuando se inicia con un espacio de Hilbert y escribir otra norma que tiende a ser dominada por la primera norma, y por lo tanto es equivalente a la primera norma. Yo no conozco a ninguna teoría de conjuntos, pero tengo la sospecha de la existencia de dos no equivalentes completa de las normas requiere el axioma de elección. (Edit: Nate Eldredge dice que sí requiere de CA; ver su comentario a continuación para obtener más detalles.)

(Con respecto a mi afirmación de que si usted escribe un explícito nueva norma en un espacio de Banach tiende a ser dominado por el original de la norma, no la cerró gráfico teorema, que no realidad, a decir esto: "Supongamos $X$ $Y$ son espacios de Banach y $T:X\to Y$ es lineal. Si $T$ fue dado por una fórmula explícita, a continuación, $T$ es limitada." La CGT en realidad no dicen eso, pero eso es lo que se trata en la práctica, en mi experiencia. Hay una razón por la que los operadores no acotados a la gente de estudio sólo se definen en un subespacio denso...)

Existen no son simples ejemplos. Deje $X$ $Y$ ser cualquiera de los dos separables espacios de Hilbert. Deje $A$ ser una base de Hamel para $X$ y deje $B$ ser una base de Hamel para $Y$. Multiplicar la base de los elementos constantes de modo que cada elemento de a $A$ norma $1$, pero la norma de los elementos de $B$ son ilimitados.

Cualquier bijection de $A$ a $B$ se extiende a un isomorfismo lineal de $X$$Y$, por lo tanto induce una nueva norma en $X$ con respecto a la cual se $X$ es un espacio de Hilbert. Las dos normas en $X$ no son equivalentes, y por lo tanto son incomparables.