Deje $n,a_1,a_2,\ldots,a_n$ ser números enteros tales que a$a_1a_2a_3\cdots a_n =n$$a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n=0$. Demostrar que 4 divide a n

Question

Necesito ayuda con este problema: Deje $n,a_1,a_2,\ldots,a_n$ ser números enteros tales que a$a_1a_2a_3\cdots a_n =n$$a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n=0$. Demostrar que 4 divide a n

Sé que $a_i$ divide $n$ cualquier $i=1,2,3,\ldots,n$ y $n>0$. Así que debe haber un número par de números enteros negativos, pero no sé cómo empezar la prueba. Soy nuevo en la teoría de números. Necesita ayuda, por favor

Answer 1

Si $n$ es impar, entonces cada una de las $a_i$ son impares. A continuación, $a_1+a_2+\cdots+a_n$ es la suma de un número impar de números impares, que no sea igual a cero (ya que el cero es par)! Por lo $n$ no puede ser impar.

Ahora si $n$ es un múltiplo de a $2$ pero no $4$, exactamente una de las $a_i$ debe ser uniforme y todos los demás debe ser impar. (Si hay dos o más factores, a continuación, $a_1a_2\cdots a_n$ sería un múltiplo de 4.) Eso significa que $a_1+a_2+\cdots+a_n$ es la suma de un número y $n-1$ números impares, pero desde $n-1$ sí es impar, la suma total debe ser impar y por lo tanto no puede ser cero otra vez!

Esto deja sólo la posibilidad de que $n$ es un múltiplo de 4, y hemos terminado.