Cómo muchos campos dentro de $\mathbb R$?

Question

es decir, ¿cuál es la cardinalidad de a $\{A \mid \ A\subset \mathbb R, A \text{ is a field} \}$?

Answer 1

El número de $x$ de los subcampos de $\mathbb R$ $x=2^{\mathfrak c}$ donde ${\mathfrak c}=2^{\aleph_0}$. Aquí es una prueba.

Elija una trascendencia base $(x_i)_{i \in I}$ $\mathbb R$ $\mathbb Q$ donde $I$ necesariamente tiene cardinalidad $\mathfrak c$ .
a) Para cada subconjunto $J\subset I$ usted obtiene un subcampo $\mathbb Q ((x_j)_{j \in J})\subset \mathbb R$ y así ya lo tienes como muchos de los subcampos como hay subconjuntos $J\subset I$ , es decir,$2^{\mathfrak c}$.
Por lo tanto $x \geq 2^{\mathfrak c}$

b) por supuesto, usted no puede tener más subcampos de subconjuntos de a $\mathbb R$.
Por lo tanto $x \leq 2^{\mathfrak c}$

c) De a) , b) y Cantor-Schröder-Bernstein, deducir $x = 2^{\mathfrak c}$

Answer 2

$\mathbb{R}$ $2^{\mathfrak{c}}=2^{2^{\aleph_0}}$ subcampos.

Deje $\mathcal{B}$ ser una trascendencia base para$\mathbb{R}$$\mathbb{Q}$. A continuación,$|\mathcal{B}|=|\mathbb{R}|=\mathfrak{c}$. Cada subconjunto de $\mathcal{B}$ genera una diferente subcampo de $\mathbb{R}$, por lo que esta nos da, al menos, $|\mathcal{P}(\mathcal{B})|=2^{\mathfrak{c}}$ subcampos. Ya que hay sólo $2^{\mathfrak{c}}$ subconjuntos de a $\mathbb{R}$ en total, hay claramente en la mayoría de $2^{\mathfrak{c}}$ subcampos. Así por Schröder–Bernstein hay exactamente $2^{\mathfrak{c}}$.