Mostrar que $5n+3$ $7n+4$ son relativamente primos para todos los $n$.

Question

Mostrar que $5n+3$ $7n+4$ son relativamente primos para todos los $n$.

Answer 1

Sugerencia: $\gcd(5n+3,7n+4)=\gcd(35n+21,35n+20)$, ¿por qué?

Answer 2

Si $p$ es un divisor primo de $5n+3$ $7n+4$ $$5n+3 \equiv 0 \pmod p$$ and $$7n+4 \equiv 0 \pmod p.$$ At least one of these is not satisfied when $ p \en \{5,7\}$. Otherwise, $7$ and $5$ are invertible modulo $p$ and we can rearrange these equations as $$\frac{-4}{7} \equiv n \equiv \frac{-3}{5} \pmod p.$$ This implies $-20 \equiv -21 \pmod p$, giving a contradiction, since $p \geq 2$.

Answer 3

Desde $7(5n+3) - 5(7n+4)=1$ el máximo común divisor es $5n+3$ $7n+4$ $1$ (por la identidad de Bezout).

Answer 4

Bezout del Lema establece que para si y solo si $a$ $b$ se comprime números, entonces la siguiente ecuación ha entero soluciones:

$$ax + by = 1$$

Ahora vamos a $a=5n+3$$b=7n+4$. Ahora obtenemos:

$$(5n+3)x + (7n+4)y = 1$$

Ahora aplicar el Algoritmo de Euclides extendido:

$$(7n+4) = (5n+3) + (2n+1)$$ $$(5n+3) = 2\times(2n+1) + (n+1)$$ $$(2n+1) = (n+1) + n$$ $$(n+1) = n + 1$$

Ahora nos acaba de ir de nuevo:

$$1 = (n+1) - n$$ $$1 = (n+1) - ((2n+1) - (n+1))$$ $$1 = 2(n+1) - (2n+1)$$ $$1 = 2((5n+3) - 2(2n+1)) - (2n+1)$$ $$1 = 2(5n+3) - 5(2n+1)$$ $$1 = 2(5n+3) - 5((7n+4) - (5n+3)$$ $$1 = 7(5n+3) - 5(7n+4)$$

Nos acaba de obtener una solución de $(x,y) = (7,5)$, pero es suficiente para demostrar que $7n+4$ $5n+3$ se comprime números.

Answer 5

Sugerencia: $$7n+4=(5n+3)+2n+1$$ $$5n+3=2(2n+1)+1$$