Cómo calcular el límite de $\lim_{n\to \infty}\prod _{i = 1}^{n}\left(1+{1 \over 2^{i}\ -\ i}\right)$

Question

Cómo calcular el límite de $$\lim_{n\to \infty}\prod _{i = 1}^{n}\left(1+{1 \over 2^{i}\ -\ i}\right)\ ?$$

Puedo probar este límite existe por comparación con el límite de $$ \lim_{n \to \infty}\,\,\prod _{i = 1}^{n}\left(1 + {1 \over 2^{i}}\right)\,, $$ y esta secuencia parece estar relacionada con q-Pochhammer, pero no tengo idea acerca de la secuencia en el título.

Answer 1

Directa y de fácil cálculo da

$$\lim_{n\to \infty}\prod _{i = 1}^{n}\left(1+{1 \over 2^{i}\ -\ i}\right)=\lim_{n\to \infty}\prod _{i = 1}^{n}\frac{2^î}{2^î-1}=\lim_{n\to \infty}\prod _{i = 1}^{n}\frac{1}{(1-\frac{1}{2^î})}$$

El producto en el denominador converge pero, al menos para mí, es muy difícil de calcular. (probablemente podría ser un trascendental número). Wolfram da una estimación de $48$ dígitos decimales de los que tomo aquí sólo $20$.

$$\lim_{n\to \infty}\prod _{i = 1}^{n}(1-1/2^i)\approx 0.28878809508660242192.....$$

A continuación, el límite aproximado, también a $20$ dígitos, es $$\lim_{n\to \infty}\prod _{i = 1}^{n}\left(1+{1 \over 2^{i}\ -\ i}\right)\approx\color{red} {3.46274661945506360385.....}$$