Estoy tratando de entender el Ejemplo 1.7.4 en Fulton "Intersección de la Teoría", afirmando que si una de morfismos de esquemas (finito de tipo más de un campo) $f:X\to Y$ plano y finito de grado $d$, a continuación, para cada subvariedad $V\subset Y$ ha $f_\ast f^\ast[V]=d[V]$. Mi cálculo conduce a la igualdad \begin{equation} f_\ast f^\ast[V]=\sum_{W\subset f^{-1}(V)}n_W\deg(W/f(W))[f(W)], \end{equation} donde la suma es sobre los componentes irreducibles de $W$$f^{-1}(V)$$n_W=\ell(\mathscr O_{f^{-1}(V),W})$. Debido a $f^{-1}(V)\to V$ plano y $V$ es irreductible, cada $W$ domina $V$. Pero como $f$ es finito, por lo tanto cerrado), llegamos a la $f(W)=V$ todos los $W$, así que podemos escribir \begin{equation} f_\ast f^\ast[V]=\sum_{W\subset f^{-1}(V)}n_W\deg(W/V)[V]. \end{equation} Ahora, estamos a la izquierda para mostrar que $\sum_Wn_W\deg(W/V)=d$. Sé que si tengo un anillo local $A$ e una $A$-álgebra $B\cong A^d$,$d=\sum_{\mathfrak n\in\textrm{Spm}\,B}[B_\mathfrak n/\mathfrak nB_\mathfrak n:A/\mathfrak m_A]\ell_{B_\mathfrak n}(B_\mathfrak n/\mathfrak m_AB_\mathfrak n)$. Por lo tanto, a la conclusión de que me gustaría llevar a $A=\mathscr O_{Y,V}$, pero $\textbf{what}$ $B$ $\textbf{do I have to choose?}$ me gustaría interpretar $n_W$ como la longitud que aparecen en la suma (por eso es necesario una correspondencia $\mathfrak n\leftrightarrow W$) y recuperar $\deg(W/V):=[R(W):R(V)]$ como el grado $[B_\mathfrak n/\mathfrak nB_\mathfrak n:A/\mathfrak m_A]$.
También, ¿me puedes mostrar un $\textbf{example}$ de este resultado?
Gracias de antemano.
