Espectáculo $x^{\pi(x)} < 3^x$ el uso de la PNT.

Question

Utilizando el Teorema de los números Primos muestran que:

$$x^{\pi(x)} < 3^x$$ for sufficiently large $x$.

Empecé por tomar la $\log$ de la desigualdad tal que:

$$\log(x^{\pi(x)}) < \log(3^x)$$ por lo $$\pi(x) \log(x) < x \log(3)$$

por PNT sabemos que $$\pi(x) \sim \dfrac{x}{\log(x)}$$

así, podemos entonces sub esta en y obtener:

$$\dfrac{x}{\log(x)} \log(x)<x\log(3)$$ $$x<x\log(3)$$ $$1<\log(3)$$

Se puede hacer esto? Esta es una Distribución de números Primos supuesto, estoy tratando de conseguir mi cabeza alrededor de usar el PNT! Gracias por la ayuda!

Answer 1

Usted necesita ser un poco cuidadoso al manipular el $\sim$ relación. Usted no puede simplemente sustituir en la desigualdad, ya que es sólo una relación asintótica. Esta es una manera de hacerlo:

El $\sim$ operador se define generalmente como

$$f(x)\sim g(x) \iff \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=1$$

Así, $$\pi(x) \sim \frac x{\log x} \iff \lim_{x \to \infty}\frac{\pi(x) \log x}{x}= 1 $$

La división de la desigualdad de $\pi(x)\log x < x \log 3$ $x$ da $$\frac{\pi(x)\log x}x < \log 3$$

Finalmente, tomando el límite en el infinito de la mano izquierda se puede concluir que el valor de la aproximación $1$ para una lo suficientemente grande como $x$, y listo, ya $3 > e \implies \log 3 >1$.