Dejemos que $f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$ sea una función inyectiva suave con $\operatorname{det}[f'(x)]\not=0 $ para todos $x\in\mathbb{R}^n$ . Además, supongamos que $f$ no tiene puntos fijos. Puede $f$ tienen un punto periódico, es decir, un punto x tal que $f^k(x):=(f\circ f\circ\ldots\circ f)(x)=x$ ? La respuesta para $n=1$ es NO, pero no veo la respuesta para $n>2$ .
Respuesta
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Dejemos que $h\colon \mathbb R\to\mathbb R$ sea una función suave con $h(0)\ne0$ , $h(-x)=h(x)$ y $h(x)=0$ para $x>1$ por ejemplo $$ h(x)=\begin{cases}e^{-\frac1{1-x^2}}&\text{if }|x|<1\\ 0&\text{if }|x|>1\end{cases}$$ Entonces en $\mathbb R^2$ $$ f(x,y)=(x+h(y),-y)$$ no tiene puntos fijos, pero cualquier punto con $|y|>1$ tiene periodo $2$ (y las propiedades suave, inyectiva, $\det f'\ne0$ se verifican inmediatamente).
De hecho, incluso $f(x,y)=(x+1-y^2,-y)$ es un ejemplo con puntos periódicos pero sin puntos fijos
