Para un polinomio $p(z)$, demostrar que no existe $R>0$, de tal forma que si $|z|=R$, $|p(z)|\geq |a_n|R^n/2$

Question

Para un polinomio $p(z)=a_0+\ldots+a_nz^n$, demostrar que no existe $R>0$, de tal forma que si $|z|=R$,$|p(z)|\geq |a_n|R^n/2$.

Llego $|p(z)|\geq |a_n|R^n$, lo que hace que el factor de $1/2$ inútil. Así que debo haber hecho algo mal.

$$|\frac{\partial^n{f}}{\partial z^n}(P)|\leq \frac{\sup_{z\in \overline{D}(P,r)} |f(z)|k!}{r^k}$$. Esta es la estimación de Cauchy.

$$|\frac{\partial^n{p}}{\partial z^n}(z)| = |a_n n!|$$ $$|\frac{\partial^n{p}}{\partial z^n}(0)|\leq \sup_{\zeta\in \overline{D}(0,|z|)} |p(\zeta)|n!/R^n$$ $$|a_n n!|\leq \sup_{\zeta\in \overline{D}(0,|z|)} |p(\zeta)|n!/R^n$$ $$R^n |a_n|\leq \sup_{\zeta\in \overline{D}(0,|z|)} |p(\zeta)|$$

Existe una $z_0$, de tal manera que $|z_0|>0$$$\sup_{\zeta\in \overline{D}(0,|z_0|)} |p(\zeta)| = |p(z_0)|$$.

Esto es decir no existe un disco centrado en el origen, de tal manera que $|p|$ es máximo en algún punto en el límite.

Deje $R=|z_0|$, tenemos $R^n |a_n|\leq |p(z_0)|$

Editar: Yo sé lo que me equivoqué. $z_0$ es sólo un punto en el círculo de $|z| = R$. Uno puede elegir otro punto de $z_1$ sobre el círculo, de tal manera que $p(z_1)<p(z_0)$.

Answer 1

Déjame probar un poco más fuerte que el de la propiedad que el que te pida, ya que esto se puede hacer en uno:

Deje $p(z) = a_{n} z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \cdots + a_{0}$ ser un complejo polinomio con $a_{n} \neq 0$. Existe $R \gt 0$ tal que $\frac{1}{2}|a_{n}|\,|z|^n \leq |p(z)| \leq \frac{3}{2} |a_{n}|\,|z|^n$ todos los $z$$|z| \geq R$.

Esto es claramente cierto si $n = 0$, así que supongamos $n \geq 1$. Poner $q(z) = |a_{n-1}|\,|z|^{n-1} + \cdots + |a_0|$. Por la desigualdad de triángulo tenemos las estimaciones $$|a_{n}|\,|z|^n - q(z) \leq |p(z)| \leq |a_{n}|\,|z|^n + q(z) \qquad \text{para todo } z \in \mathbb{C}.$$ Para $k \leq n-1$ tenemos $|z|^{k} \leq |z|^{n-1}$ si $|z| \geq 1$, por lo que $$p(z) \leq (|a_{n-1}| + \cdots + |a_{0}|) |z|^{n-1} \qquad \text{para todo } |z| \geq 1.$$ Poner $$R = \max{\left\{1, \frac{2}{|a_{n}|}(|a_{n-1}| + \cdots + |a_{0}|)\right\}}$$ podemos obtener la deseada $R$, ya que para $|z| \geq R$ entonces tenemos $q(z) \leq q(z) \cdot \frac{|z|}{R} \leq \frac{|a_{n}|}{2} |z|^{n}$.

Answer 2

Gracias por Qiaochu de Yuanes de la pista. La solución:

Deje $p(z) = q(z) + a_nz^n$.

Lema: Vamos A $c\neq 0$. $|cz^n| > |q(z)|$ para todos los $z\in \{z : |z|\geq r_c\}$ donde $r_c$ es lo suficientemente grande.

Prueba: Si $|z|=r$,$|cz^n| = |c|r^n$. $$|q(z)| = |\sum_{i=0}^{n-1} a_iz^i| \leq \sum_{i=0}^{n-1}|a_iz^i| = \sum_{i=0}^{n-1}|a_i|r^i \leq \sum_{i=0}^{n-1} \max(|a_i|) r^i =\max_{i=0}^{n-1}(|a_i|) \sum_{i=0}^{n-1} r^i$$ al $r > 1$, $$\max_{i=0}^{n-1}(|a_i|) \sum_{i=0}^{n-1} r^i \leq \max_{i=0}^{n-1}(|a_i|) (n-1) r^{n-1}$$

Si $r > \max(\frac{\max_{i=0}^{n-1}(|a_i|)(n-1)}{|c|},1)$ $$\max_{i=0}^{n-1}(|a_i|) (n-1) r^{n-1} \leq |c|r^n$$

$|p(z)| = |a_n z^n+q(z)|\geq |a_n z^n| - |q(z)| \geq |a_n z^n| - |c z^n| = (|a_n|-|c|)|z^n|$

Deje $c = |\frac{a_n}{2}|$. Para todos los $z$ tal que $|z|=R>r_{a_n/2}$, esto muestra $|p(z)| \geq |a_n|R^n/2$.