Encontrar el punto que minimiza la suma de los ángulos de tres puntos a ese punto en la superficie de una esfera

Question

Deje $A,B,C$ tres puntos en la superficie de una unidad de la esfera con centro de $O$, que no están los tres en el mismo círculo máximo. Hay un avión $P$ que contiene los tres puntos y en él se definen un triángulo. Deje $X$ ser un punto de (a determinar) en la superficie de la esfera y deje $XA$ ser el ángulo entre los segmentos de línea $OA$ $OX$ y de manera similar para$XB$$XC$.

P1: Encontrar el punto de $X$ sobre la superficie de la esfera, tales que la suma de los tres ángulos $XA+XB+XC$ es mínima.

P2: Es el problema de Q1 equivalente a encontrar un punto en el plano de la $P$ que minimiza la suma de los (Euclidiana) las distancias de los vértices a ese punto? (Por ejemplo, si ese punto en el plano se encuentra, llame a $Y$, entonces se puede ampliar el segmento de la línea de $O$ $Y$hasta la superficie de la esfera es interceptada)

Si se puede demostrar que Q2 es equivalente a Q1 , a continuación, el punto de la mínima suma puede ser determinado por buscar primero el de Fermat punto en el plano.

Gracias de antemano!

Answer 1

Desde el ángulo de $\widehat{AOX}$ es proporcional a la longitud de la ruta más corta (geodésico) entre $A$ $X$ sobre la esfera, el punto de $X$ es la esférica analógica de Ese punto. La distancia euclídea de la construcción de la Fermat punto sólo se basa en las propiedades de la geodesia y de sus interacciones con isometrías, por lo que, con el fin de encontrar $X$, uno se siente tentado a seguir estos pasos:

1. Deje $B'$ ser la imagen de $C$ bajo una contra-rotación en sentido horario alrededor de $A$ con amplitud $60^\circ$;
2. Deje $A'$ ser la imagen de $B$ bajo una contra-rotación en sentido horario alrededor de $C$ con amplitud $60^\circ$;
3. $X$ ( $\color{red}{\large ?}$ ) dado por la intersección entre la $BB'$ geodésico y el $AA'$ geodésico.

Sin embargo, este enfoque no funciona realmente, porque si $X_A$ es la imagen de $X$ bajo una contra-rotación en sentido horario alrededor de $A$ con amplitud $60^\circ$, mientras que la distancia geodésica entre el $A$ $X$ es la misma que la distancia geodésica entre el$A$$X_A$, la distancia geodésica entre el $X$ $X_A$ pueden ser diferentes: en la geometría esférica de un triángulo isósceles con un ángulo del vértice de $60^\circ$ no es siempre un triángulo equilátero, y que es un punto clave de la Fermat-Torricelli construcción.

Yo ni siquiera esperar algunas sencillas soluciones, ya que

1. Debido a la diferente curvatura de Gauss, no hay isométrica de la incrustación en el plano de un triángulo esférico;
2. El lugar geométrico de los puntos $P$ sobre una esfera tal que la suma entre las distancias geodésicas $PA,PB$ es constante, es bastante complicado de objeto.

Al menos, tenemos una respuesta negativa a Q2: nuestro problema no es completamente equivalente a su euclidiana analógica. De todos modos, recientemente se ha resuelto a través de los multiplicadores de Lagrange: para suficientemente pequeños triángulos esféricos $ABC$, el esférico punto de Fermat $X$ es el punto tal que los ángulos $\widehat{AXB},\widehat{BXC},\widehat{CXA}$, la intención de ángulos entre la geodesia, la igualdad de todos los $120^\circ$: que la propiedad es compartida también por la distancia euclídea punto de Fermat.