Soluciones a $p+1=2n^2$ $p^2+1=2m^2$ en números Naturales.

Question

$$p+1=2n^2$$$$p^2+1=2m^2$$ Find positive integers $m,n$ and prime $p$ satisfacción de las dos ecuaciones de arriba.

¿Qué sería de la gente suele hacer?

Restando ambas ecuaciones.

Usted obtener:

$$p(p-1)=2(m-n)(m+n)$$

Si usted observa cuidadosamente, la ecuación anterior tiene una infinidad de soluciones, y esto no funciona porque la generalidad de la ecuación se pierde al restar ambos de ellos.

Me di cuenta de que $p \equiv -1 \pmod 8$. $p=7$ funciona bien. No veo ninguna otra solución, pero no es capaz de contradecir la existencia.

Answer 1

Aquí Mahoney prueba [p.338].

Deje $(u_0,w_0)$ ser una solución de $$2U^2-W^2=p. \tag{1}$$ $$(u_1,w_1) = (2u_0^2 \pm 2u_0w_0 + w_0^2,2u_0^2\pm 4u_0w_0 + w_0^2)$$ es una solución de $2U^2-W^2=p^2.\tag{2}$ Si, además, $(u_0,w_0)$ es la menor solución de (1), a continuación, $(u_1,w_1)$ con el signo de menos es lo de menos solución de (2). Por lo tanto, supongamos $2u_0^2-1=p$. A continuación, $$(u_1,w_1)=(2u_0^2-2u_0+1,2u_0^2-4u_0+1)\tag{$\estrellas$}$$ is a solution of (2). But clearly $(u_0,1)$ is the least solution of (1); hence $(\star)$ gives the least solution of (2). By assumption, we have $w_1 = 1 = 2u_0^2-4u_0+1$, so $u_0=2$, and $(2,1)$ is the only solution of (1). Hence $p=7$.

Answer 2

Sí, $p=7$ es la única solución. Dado un primer $p$ como en el anterior, se puede obtener una terna Pitagórica, la configuración de $a=2nm$, $b=n^2-m^2$ y $c=n^2+m^2$, lo que da $$ (p^3+p^2+p+1)+ \left( \frac{p^2-p}{2}\right)^2=\left( \frac{p^2+p+2}{2}\right)^2. $$ Por el camino, para $p=7$ obtenemos $20^2+21^2=29^2$.
La condición, que $p^3+p^2+p+1$ es un cuadrado implica que $p=1$ o $p=7$ (no sólo para los números primos, pero para todos los enteros positivos). De hecho, la solución está dada en Ribenboim del libro en catalán de la conjetura, donde todas las ecuaciones de $y^2=1+n+n^2+\cdots +n^k$ son estudiados. Para $k=3$ sólo $1$ $7$ son posibles.

Answer 3

Creo que el $\mathit{commonly\ done}$ método funciona bien y le da la única solución de $(m,n,p)=(5,2,7)$. Tal vez me estoy perdiendo algo, pero todavía estoy dando el argumento de que he venido para arriba con. Amablemente punto si hay algún error.

En primer lugar, tenga en cuenta que $$p(p-1)=2(m-n)(m+n)\Rightarrow\ (m-n)|(p-1)/2$$ since $p$ is an odd prime here, $m,n$ positive. Then it implies that $p|(m+n)$. Now if $p\ne m+n$, then $(m+n)|(p-1)/2$ which consequently makes $p|(m-n)$, que es una contradicción. Así \begin{equation} \begin{split} m+n=& p \\ m-n=&(p-1)/2\\ \end{split} \end{equation} Esto le da $$n=\frac{p+1}{4}$$ and this from the first equation given in the question leads to $p=7$. Then it follows from the above equations that $m=5,n=2$.

Edit: La solución que me han dado aquí es sólo una solución, y por lo tanto lo que estoy reclamando a ser como única solución es incorrecta. Puede haber otras soluciones, como se ha señalado por user70520. Voy a tratar de encontrar esas soluciones.

Answer 4

Sólo algunos comentarios en el formato que mejor en una respuesta a un comentario. Ellos pueden ayudar a dar una idea de la naturaleza de una solución.

El uso de la convergents a $\sqrt 2$ es rápido para comprobar que no existen otras soluciones pequeñas ($p\lt 10^{14}$)

Si hacemos caso de la primer condición para un momento en el que nos ha $p=2n^2-1$, de modo que $$(2n^2-1)^2+1=2m^2$$

Lo que se reduce a $$4n^4-4n^2=2m^2-2$$ or$$2n^2(n+1)(n-1)=(m+1)(m-1)$$

El lado izquierdo es divisible por $8$. Tomando nota de que el máximo factor común de $m+1$ $m-1$ debe dividir su diferencia $2$, $m+1$ o $m-1$ debe ser divisible por $4$. Si $n$ es impar, este es reemplazado por $8$.

El lado izquierdo es también divisible por 3, así que o $m+1$ o $m-1$ es divsible por $6$ (ambos inclusive).

Esta forma de la ecuación sugiere que puede haber otras limitaciones que están exigiendo a cumplir.

Tenga en cuenta también que $m$ debe ser impar, de modo que el lado derecho es ocho veces un triángulo, mientras que el lado izquierdo es $8$ veces el producto de dos sucesivas triángulo de números, es decir, con $m=2r+1$ podemos cancelar un factor de $8$ obtener $$\frac{n(n+1)}2\cdot\frac {n(n-1)}2=\frac{r(r+1)}2$$