Una colección de secuencias que no pueden ser hechas a converger

Question

Estoy tratando, en su mayoría fuera de la curiosidad, la exhibición de un infinito contable, establezca $X$ real, null secuencias, tal que, dada una secuencia de signos $(s_n)\in\{-1,1\}^{\mathbb{N}},$ al menos uno de $(x_n)\in X$ llevará $\sum s_nx_n$ a divergir.

Toda construcción que he intentado ha fallado, sin embargo, estoy convencido de tal $X$ que debe de existir. Agradecería cualquier ideas inteligentes, o una prueba de lo contrario.

Fuente: mi pregunta es inspirado por este, que trata el caso de $X$ finito: en ese caso en particular no hay tal, ya que es posible construir a $(s_n)$, de modo que todos los $(x_n)\in X$ conduce a $\sum s_nx_n$ convergente. En el caso de que $X$ tiene cardinalidad $|\mathbb{R}|$ es casi trivial, así que me estoy preguntando ¿qué sucede cuando $X$ es meramente contables.

Answer 1

Respuesta parcial: Si todas las secuencias de los contables de la colección de $\mathcal{X}$ son cuadrados summable entonces casi todos los $\{S_n\}_{n=1}^{\infty}$ hará que todos modificado sumas convergen.

Prueba: Tomar cualquier valor real de la secuencia de $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ que satisface $\sum_{n=1}^{\infty} x_n^2 < \infty$. Ahora forman $\{S_n\}$, según un azar que yo.yo.d. secuencia de con $Pr[S_n=1]=Pr[S_n=-1]=1/2$. Definir la modificación de la suma de $M_n = \sum_{i=1}^n x_i S_i$. A continuación, la secuencia de $\{M_n \}_{n=1}^{\infty}$ es una martingala y para todos los $n$: $$ E[M_n^2] = \sum_{i=1}^n x_i^2 \leq \sum_{i=1}^{\infty} x_i^2 < \infty$$ Por lo $M_n$ converge con probabilidad 1 (cuadrática) martingala teorema de convergencia.

Ahora vamos a $\mathcal{X}=\{\{x_n[k]\}_{n=1}^{\infty}\}_{k=1}^{\infty}$ ser un countably colección infinita de sucesiones de cuadrado sumable. Elija $\{S_n\}$ al azar como antes y definir $\{M_n[1], M_n[2], M_n[3],...\}$ como el correspondiente martingala para cada secuencia en la colección, así:
$$ M_n[k] = \sum_{i=1}^n x_i[k]S_i $$ Entonces: $$Pr[\mbox{$M_n[k]$ converges for all $k$}] \geq 1-\sum_{k=1}^{\infty}Pr[\mbox{$M_n[k]$ does not convege}] = 1 $$ Así, con prob 1, escogido al azar secuencia $\{S_n\}$ hace todos convergen. Por supuesto, esto también significa que existe una $\{S_n\}$ secuencia que hace que todos ellos convergen. $\Box$

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Idea posible para el caso general: Si sabemos que siempre se puede obtener una señal de secuencia $\{s_n\}$ que hace que todos null secuencias en una colección finita convergen, ¿por qué no hacer algo a lo largo de las líneas de definición de $\{s_n[k]\}$ como el signo de la secuencia que hace que el primer $k$ null secuencias convergen y, a continuación, la construcción de $\{s_n^{new}\}$ $\{s_n[k]\}$ en algunos de Cantor-diagonal-como forma.

Answer 2

Esta es una valoración crítica de el caso general, a lo largo de las líneas de sugerí en mi primera respuesta (de hecho, estoy publicando dos respuestas ya que son cualitativamente diferentes).

La proposición: Hay siempre un signo de la secuencia de $\{s_n\}$ que hace todas las modificaciones de las cantidades de la countably infinita colección de secuencias nulas convergen.

Construcción a prueba:

Deje $\{x_n[k]\}_{n=1}^{\infty}$ ser un countably infinita colección de secuencias nulas indexados por $k \in \{1, 2, 3, …\}$. Para cada entero positivo $m$, vamos a $\{s_n[m]\}_{n=1}^{\infty}$ ser un signo de secuencia (que consta de 1 y -1 valores) tal que $\sum_{i=1}^{n} x_i[k]s_i[m]$ converge a un valor finito (como $n\rightarrow\infty$) $k \in \{1, …, m\}$ (sabemos que esto es posible por el vínculo dado por el autor de la pregunta de esta pregunta).

Tenga en cuenta que un valor real secuencia converge si y sólo si es una secuencia de Cauchy. Así, para cada $\epsilon>0$ y cada entero positivo $m$, existe un entero positivo $R_m(\epsilon)$ que si $a, b$ son enteros que son mayores que o igual a$R_m(\epsilon)$, entonces:

$$\left|\sum_{i=1}^a x_i[k]s_i[m] - \sum_{i=1}^b x_i[k]s_i[m]\right| \leq \epsilon \quad \forall k \in \{1, ..., m\} $$

Ahora forman $\{s_n^{new}\}$ como sigue:

-Definir $s_n^{new}=s_n[1]$ $n \in \{1, …,G_1\}$ donde $G_1 = R_2(2^{-1})$.

-Definir $s_n^{new} = s_n[2]$ $n \in \{G_1+1, …, G_2\}$ donde $G_2 = max[G_1+1,R_3(2^{-2})]$.

-Definir $s_n^{new} = s_n[3]$ $n \in \{G_2+1, …, G_3\}$ donde $G_3 = max[G_2+1, R_4(2^{-3})]$.

y así sucesivamente, por lo que:

$s_n^{new} = s_n[m]$ $n \in \{G_{m-1}+1, …, G_m\}$ donde $G_m = max[G_{m-1}+1, R_{m+1}(2^{-m})]$.

Ahora fijar un entero positivo $k$. La siguiente afirmación establece la proposición.

Reclamo: La secuencia de $\sum_{i=1}^n x_i[k]s^{new}_i$ es de Cauchy.

Prueba de reclamación: Fijar un entero positivo $m$ y deje $a,b$ ser números enteros mayores que $G_m$,$a<b$. Queremos mostrar que el siguiente valor se desvanece como $m\rightarrow \infty$: $$ \left| \sum_{i=1}^a x_i[k]s^{new}_i - \sum_{i=1}^b x_i[k]s^{new}_i \right| $$ Ahora si $a,b$ están en el mismo intervalo de $\{G_{r-1}+1, .., G_{r}\}$ algunos $r$, entonces la diferencia es en la mayoría de las $2^{-(r-1)}$, mientras que si se encuentran en diferentes intervalos, la diferencia es que en la mayoría de una suma de geométricamente la disminución de términos, que es todavía pequeño. $\Box$