En primer lugar, el estilo de escritura de Baby Rudin es muy conciso y es difícil entender el Análisis Matemático de Rudin con sólo leerlo una o dos veces sin una exposición previa al tema. Por lo tanto, le aconsejo que se mantenga alejado de ese libro a toda costa. Hay mejores libros disponibles en estos días que han sido escritos mejor y ofrecen más conocimientos e intuición sobre el Análisis introductorio como el Análisis Matemático de Pugh.
Un área particular que el Análisis Matemático de Rudin no ha cubierto bien es la equivalencia de la compacidad secuencial y la compacidad por cubiertas abiertas. No ha hablado en absoluto del número de Lebesgue de una cubierta abierta. Pero eso no es todo. Si quieres estudiar matemáticas financieras, lo más importante es que aprendas la teoría de las medidas, que se trata en el último capítulo de Baby Rudin y es tan abstracto que cuando lo leas por primera vez, no tendrás ni idea de lo que está hablando. El Análisis Matemático de Pugh es más verboso y desarrolla tu intuición cuando discute la teoría de la medida.
Además, para entender las matemáticas financieras, supongo que hay que aprender sobre la integración estocástica y la fórmula de Ito, y tal vez incluso el cálculo de Malliavin. Esto requiere una buena cantidad de conocimientos en "Análisis Real", no en "Análisis Matemático". Hay temas que no se tratan en un curso de Análisis Matemático, como las medidas con signo y el Teorema de Radon-Nikodym.
Creo que el estilo de escritura de Spivak es más geométrico que el de Apostol en general, por lo tanto, creo que es mejor si quieres cubrir los temas necesarios para la futura comprensión de las variedades diferenciales.
Sin embargo, te aconsejo que elijas el Cálculo de Apostol en lugar de Spivak y que luego sigas leyendo el Análisis Matemático de Apostol. Es menos difícil de leer que Baby Rudin, es verboso y cubre muchos más detalles que Baby Rudin, cubre las funciones de Variación Limitada que Baby Rudin no cubre, y discute la integral de Riemann-Stieltjes con tal detalle que está mucho más allá del conocimiento de alguien que sólo ha estudiado Baby Rudin. También trata los espacios funcionales con más detalle que Baby Rudin.
Por lo tanto, mi sugerencia es la siguiente: 1- Cálculo de Apostol, Volumen 1. 2- Análisis Matemático de Apostol, excluyendo los capítulos relacionados con el análisis multivariable o Análisis Matemático de Pugh excluyendo el capítulo relacionado con el cálculo multivariable.
Además, te aconsejo que repases el Cálculo resolviendo como $10\%$ - $20\%$ de los problemas del Cálculo de Apostol, volumen 1. Haber aprendido Cálculo antes, y la exposición a sus ideas e intuiciones es definitivamente útil, pero no gaste demasiado de su tiempo (como más de $2$ semanas) sobre el Cálculo porque realmente no es tan necesario para aprender el Análisis Matemático.
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Personalmente, soy fan de Spivak. Pero no tienes que limitarte a un solo libro. Podrías intentar leer los dos a la vez y centrarte en el que más te convenza. Además, si vas a pasar un año aprendiendo un tema, tiene sentido gastar 100 dólares para conseguir el mejor libro. Mucha gente recomienda Understanding Analysis de Abbot. Puede que merezca la pena echarle un vistazo.
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Mi favorito es Apostol Análisis matemático . Spivak es bueno, pero tiene demasiadas cosas de cálculo que no es realmente el tema cubierto en Rudin. Si no has estudiado cálculo, puedes optar por Spivak. No he estudiado el Cálculo de Apostol, así que no puedo opinar al respecto.
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Por cierto, en caso de que leas a Apostol o a Spivak, Rudin te parecerá muy seco y aburrido.
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Te aconsejo que digas algo sobre dónde has estudiado. Como estudiante de italiano, siempre me pareció que el libro de Spivak estaba muy sobrevalorado: el lenguaje y los temas tratados tienen una perspectiva terriblemente "de instituto" a mis ojos. Rudin y Apostol son lecturas más "maduras".