Encontrar el punto equidistante de dos puntos y una línea de

Question

Dada una línea de $l$ y dos puntos de $p_1$$p_2$, identificar el punto de $v$ que es equidistante de $l$, $p_1$, y $p_2$, suponiendo que existe.

Mi idea es: (1) identificar las parábolas que contiene todos los puntos equidistantes de cada punto y la línea, entonces (2) se intersecan estas parábolas. Como $v$ es equidistante de los tres y cada parábola contiene todos los puntos equidistantes de $l$, y cada punto de la intersección de estas parábolas deben ser $v$. Sin embargo, no he tenido suerte en encontrar una manera de calcular, y mucho menos representan, estas parábolas.

Answer 1

Asumiendo tal punto de $Q$ existe debe se encuentra en la Bisectriz de la Línea b de $P_1$ $P_2$ es decir, la línea a través del punto medio de la $P_1$ $P_2$ y ortogonal a la línea de $\vec {P_1P_2}$.

Por lo tanto usted puede escribir una expresión paramétrica para $Q=Q(s)\in b$ y establecer la siguiente ecuación para distancias:

$$d^2(Ql)=d^2(QP_1)$$

En primer lugar, tenga en cuenta que, whitout menos de generalidad, podemos suponer que el origen coincide con el punto de intersección entre la l y b. De hecho, si $b\equiv l$ solución es trivial, de lo contrario, si no podemos encontrar el punto de intersección y simplemente cambio de los ejes (también podemos rotar los ejes de tal forma que l o b coincide con un eje sino que debe ser más complejo, mientras que el cambio es trivial).

Por lo tanto, vamos a asumir que:

$P_1=(x_1,y_1), P_2=(x_2,y_2)$,

l: $ax+by=0$,

b: $cx+dy=0$

NOTA

encontrar c y d es trivial

Encontrar bisectriz perpendicular de la línea de segmento de unirse a $(-1,4)\;\text{and}\;(3,-2)$

Ecuación paramétrica de $Q \in b$ está dada por:

$Q(t)=Q(d \cdot t,-c \cdot t)$ $t\in \mathbb{R}$

Las distancias están dadas por:

$$\text{d($Cv$)} = \frac{\left | Ax_{0} + By_{0} + C\right |}{\sqrt{A^2 + B^2} }= \frac {\left| ad\cdot t - bc\cdot t \right|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

$$\text{d($QP_1$)} = \sqrt{(d\cdot t-x_1)^2 + (-c\cdot t-y_1)^2}$$

y así

$$\frac {\left| adt - bct \right|}{\sqrt{a^2 + b^2}}=\sqrt{(d\cdot t-x_1)^2 + (-c\cdot t-y_1)^2}$$

$$\frac {\left( ad\cdot t - bc\cdot t \right)^2}{{a^2 + b^2}}=(d\cdot t-x_1)^2 + (-c\cdot t-y_1)^2$$

a partir de la cual "t" y por tanto "Q" puede ser fácilmente encontrado.

Answer 2

Sin pérdida de generalidad, $l$ $x$ eje$p_1$$(-a,y_1)$$p_2$$(a,y_2)$.

Una de las parábolas es $$y^2=(x+a)^2+(y-y_1)^2$$ y el otro

$$y^2=(x-a)^2+(y-y_2)^2.$$

Después de la eliminación de $y$,

$$y_2(x+a)^2-y_1(x-a)^2+y_1y_2(y_1-y_2)=0$$ le puede dar dos soluciones.

Answer 3

Creo que usted está casi allí. La parábola tiene una propiedad que ya sabes.Hay $two$ soluciones/puntos para el círculo de los centros, pero no uno, detectado por un procedimiento directo de la siguiente manera:

Las intersecciones de una correctamente/convenientemente colocado parábola ( wlog $y=-f$ es elegido directriz) y de la mediatriz de $P_1P_2$ debe ser encontrado.

$$P_1:(a,b)\, ; P_2: (0,f) ;$$ where $f$ es una parábola de la longitud focal.

La ecuación de la bisectriz de un

$$(x-a)^2+(y-b)^2= x^2+(y-f)^2$$

La simplificación de

$$y(f-b)-ax+Q=0 ,\,where\, Q=(a^2+b^2-f^2)/2 \tag 1$$

Parábola de ecuación

$$y = \frac{x^2}{4f} \tag2$$

Enchufe 2) en 1) y resolver cuadrática en $x$, al pasar de dos soluciones, lo que significa dos puntos que satisfagan la condición dada.

El punto clave es darse cuenta... no hay una sola parábola, no dos, que contiene los centros de estos dos círculos en la parábola, pero no un círculo.

$$x_1 = 2/ (1 - b/f)*(a + \sqrt{a^2 - Q (1 - b/f)}; \, y_1 = x_1^2/(4 f) ;$$

$$x_2 = 2/ (1 - b/f)*(a - \sqrt{a^2 - Q (1 - b/f)}; \, y_2 = x_2^2/(4 f);$$

Para el ejemplo numérico dado en el gráfico, he tomado los valores de $(a,b,f)=((1,3,1)$ como entrada de datos numéricos.

y los resultados en las coordenadas de los puntos de intersección de la circunferencia circunscrita centros. Por la evaluación y el cálculo de aproximadamente son :

$$C_1=(-4.16228,4.33114);\, C_2=(2.16228,1.16886) ; \, , que representa dos circumcircles como usted desee.

EDIT1:

Otra posibilidad para $l$ parece existir como dado de manera esquemática; sin embargo, no es independiente de la situación de la línea, pero la reflexión acerca de la línea de centros.

Answer 4

Un enfoque que podría ser útil no sólo para proporcionar las soluciones, sino también para discutir y entender su existencia, es como sigue. Dados dos puntos $P_1$ $P_2$ y una línea, podemos establecer, sin pérdida de generalidad, una $xy$ plano donde el $x$-eje coincide con la línea y la no-porción negativa de la $y$-eje contiene $P_1$. Las coordenadas de $P_1$ $P_2$ puede entonces escribirse como $(0,y_1)$$(x_2,y_2)$, respectivamente (con $y_1 \geq 0\,$). El segmento de $P_1P_2$ pendiente $(y_2-y_1)/x_2$ y su punto medio tiene las coordenadas $(x_2/2,(y_1+y_2)/2)\,\,\,\,$. De manera que la ecuación de su eje geométrico es

$$y=-\frac{x_2}{y_2-y_1} x + \frac{y_1+y_2}{2}+\frac{x_2^2}{2(y_2-y_1)}$$

Ahora tenemos que identificar, en esta línea, un punto cuya distancia de $P_1$ (o $P_2$) es igual a la distancia desde la $x$-eje. Por lo tanto, si llamamos a $(X,Y)$ las coordenadas de este punto, debemos tener

$$X^2+(Y-y_1)^2=Y^2$$

Desde $(X,Y)$ también deben satisfacer la ecuación de la geometría del eje, resolviendo el sistema y simplificando obtenemos que el buscado coordenadas son

$$X=\frac{y_1 x_2}{y_1 - y_2} \pm \sqrt{y_1 y_2\left(1 + \frac{x_2^2}{(y_1 - y_2)^2} \right) }$$ $$Y= \frac{y_1+y_2}{2} + \frac{x_2 (2X-x_2)}{2(y_1 - y_2)}$$

Tenga en cuenta que estas fórmulas son válidas para $y_1 \neq y_2\,$. Si $y_1=y_2\,$ (es decir, si la geometría del eje es perpendicular a la $x$-eje), se tiene trivialmente

$$X=\frac{x_2}{2}$$ $$Y=\frac{y_1}{2}+\frac{X^2}{2y_1}$$

También tenga en cuenta que, para las soluciones reales, $y_1y_2$ debe $\geq 0\,\,$. Debido a $y_1$ ha sido asumido $\geq 0$ en los supuestos iniciales ($P_1$ es sobre la no-porción negativa de la $y$-eje), esto implica que:

• en el caso de $y_1 \neq y_2 \,$ si $y_1$ $y_2$ ambos $>0$ (es decir, $P_1$ en el positivo $y$-eje y $P_2$ está en el primer o segundo cuadrante) tenemos dos diferentes soluciones reales;

• en el caso de $y_1 \neq y_2\,$ si $y_1=0$ o $y_2=0$ (es decir, una entre las $P_1$ $P_2$ es en el $x$-eje) tenemos una única solución real;

• en el caso de $y_1 \neq y_2\,$ si $y_1>0$ $y_2<0$ (es decir, $P_1$ en el positivo $y$-eje y $P_2$ está en el tercer o cuarto cuadrante) nosotros no tenemos soluciones reales;

• por último, en el caso de $y_1 = y_2\,$, tenemos una única solución real.

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Para dar un ejemplo, pongamos $P_1=(0,2) \,\,$$P_2=(2,4)\,\,$. En este caso, tenemos $y_1=2\,$, $x_2=2\,\,$,$y_2=4\,\,$, y estamos en el caso de $y_1 \neq y_2\,\,\,$. La aplicación de las fórmulas anteriores, obtenemos

$$X=\frac{4}{-2} \pm \sqrt{2 \cdot 4 \left(1 + \frac{2^2}{(-2)^2} \right) }=-2 \pm 4$$

Poniendo estos dos posibles valores de $X$ en la ecuación de dar a $Y$, para el caso de $X=2\,\,$ rendimientos

$$Y= \frac{2+4}{2} + \frac{2 (4-2)}{2(-2)}= 3-1=2$$

y para el caso de $X=-6 \,\,$ rendimientos

$$Y= \frac{2+4}{2} + \frac{2 (2 \cdot (-6)-2)}{2(-2)}= 3+7=10$$

por último dar las dos soluciones de la $(2,2) \,$$(-6,10)\,$. En consecuencia, las distancias de $(2,2) \,$a partir de $P_1$, $P_2$, y el $x$-eje son todos iguales a $2$, y los de $(-6,10)\,$ son todos iguales a $10$.

De la misma manera, si por ejemplo nos pusimos $P_1=(0,4)\,\,$$P_2=(12,4)\,\,$, luego $y_1=4\,$, $x_2=12\,\,\,$,$y_2=4\,\,$ y estamos en el caso de $y_1 = y_2\,\,$, donde la geometría del eje es perpendicular a la $x$-eje. Así obtenemos

$$X=\frac{12}{2}=6$$ $$Y=\frac{4}{2}+\frac{6^2}{2 \cdot4}=\frac{13}{2}$$

dando la única solución de $(6,13/2) \,\,$, cuyas distancias de $P_1$, $P_2$, y el $x$-eje son todos iguales a $13/2 \,$.

Answer 5

Yo, personalmente, prefiero atacar estos problemas utilizando primero básico vectoriales álgebra, sobre todo porque tienden a ser más fáciles de implementar para los cálculos numéricos.

En otras palabras, esta respuesta supone que el problema subyacente para ser resuelto, es para encontrar y poner en práctica un estable algoritmo numérico para la resolución de problemas específicos de este tipo; y no algo como un geométricas ejercicio educativos o de investigación.

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En primer lugar, queremos simplificar la situación. La obvia operación es transformar el sistema de modo que la línea de $l$ es en el $x$ eje.

Vamos a definir la línea de $l$ en vector de la forma: $$\vec{l}(t) = \vec{l}_0 + t \hat{l}_n \tag{1}\label{NA1}$$ donde $\vec{l}_0 = (x_0 ,\, y_0)$ es cualquier punto de la línea que pasa a través de, e $\hat{l}_n = (x_n ,\, y_n)$ es un vector unitario ($x_n^2 + y_n^2 = 1$).

Si definimos la matriz de rotación $\mathbf{R}$, $$\mathbf{R} = \left [ \begin{array}{cc} x_n & y_n \\ y_n & -x_n \end{array} \right ] \tag{2}\label{NA2}$$ a continuación, la transformación que queremos es $$\vec{p}' = \mathbf{R}\left(\vec{p} - \vec{l}_0\right)\tag{3a}\label{NA3a}$$ es decir, el punto de $\vec{p} = (x, y)$ se convierte en $$\left\lbrace\begin{array}{l} x' = x_n ( x - x_0 ) + y_n ( y - y_0 ) \\ y' = y_n ( x - x_0 ) - x_n ( y - y_0 ) \end{array}\right.\la etiqueta{3b}\label{NA3b}$$

La operación inversa es $$\vec{p} = \vec{l}_0 + \mathbf{R}^T \vec{p}'$$ y debido a que $\mathbf{R}^T = \mathbf{R}$ en este caso particular, se puede escribir como $$\left\lbrace\begin{array}{l} x = x_0 + x_n x' + y_n y' \\ y = y_0 + y_n x' - x_n y' \end{array}\right.\la etiqueta{3c}\label{NA3c}$$

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A continuación, podemos considerar esta mucho más sencillo situación.

Digamos que los dos puntos (como transformada por $\eqref{NA3b}$)$\vec{p}_1 = ( x_1 ,\, y_1 )$$\vec{p}_2 = ( x_2 ,\, y_2 )$.

El requisito de que el punto de $\vec{p} = ( x ,\, y )$ buscamos es que es tan lejos de $\vec{p}_1$ $\vec{p}_2$ es a partir de la línea de $l$, es decir, de $y = 0$. $$\begin{cases} \lvert y \rvert = \sqrt{ (x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 } \\ \lvert y \rvert = \sqrt{ (x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 } \end{casos}$$ Debido a que ambos lados son no negativos, podemos plaza de ellos, para obtener el par de ecuaciones en una forma más manejable forma, $$\begin{cases} y^2 = (x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 \\ y^2 = (x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 \end{casos} \iff \begin{cases} (x - x_1)^2 + y_1^2 - 2 y y_1 = 0 \\ (x - x_2)^2 + y_2^2 - 2 y y_2 = 0 \end{casos} \etiqueta{4}\label{NA4}$$ Después de encontrar la solución o soluciones de $(x, y)$, el uso de $\eqref{NA3c}$ a transformar de nuevo a la original sistema de coordenadas.

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Vamos a considerar las soluciones numéricas a $\eqref{NA4}$, y los casos donde no hay ninguna solución en absoluto. (Voy en silencio asumir que usted es consciente de las trampas en el uso de los números de punto flotante; especialmente permitiendo error de redondeo, de máquina"epsilon", cuando se comparan los valores de la igualdad.)

1. Si $y_1 y_2 \lt 0$, no puede ser ningún resultado, debido a que los puntos dados están en diferentes lados de la línea: la distancia desde el resultado tentativo punto a al menos uno de los puntos dados es siempre mayor que la distancia desde el resultado tentativo punto a la línea.

2. Si $y_1 \ne y_2$, pero $y_1 = 0$ o $y_2 = 0$ (o $y_1 y_2 = 0$), no puede ser ningún resultado, porque sólo uno de los puntos dados en la línea $l$, y el común de la distancia no puede ser cero y distinto de cero al mismo tiempo.

3. Si $y_1 = y_2 = 0$ pero $x_1 \ne x_2$, no hay solución, porque los puntos dados son independientes, pero tanto en la línea de $l$, y el común de la distancia no puede ser cero y distinto de cero al mismo tiempo.

4. Si $y_1 = y_2 = 0$$x_1 = x_2$, los puntos dados están en el mismo punto en la línea $l$, por lo que el común de la distancia es cero. El resultado es la posición de los puntos dados: $$\begin{cases}x = x_1 = x_2 \\ y = y_1 = y_2 = 0 \end{cases}$$

5. Si $y_1 = y_2 \ne 0$$x_1 = x_2$, los puntos dados son los mismos, y el resultado está a mitad de camino entre los puntos dados y la línea: $$\begin{cases}x = x_1 = x_2 \\ y = \frac{y_1}{2} = \frac{y_2}{2} \end{cases}$$

6. Si $y_1 = y_2 \ne 0$$x_1 \ne x_2$, no hay una única solución: $$\begin{cases}x = \frac{x_1 + x_2}{2} \\ y = \frac{y_1}{2} + \frac{(x_2 - x_1)^2}{8 y_1} \end{cases}$$

7. Si $y_1 \ne y_2$, $y_1 y_2 \gt 0$, y $x_1 = x_2$, hay puntos dados están en la línea perpendicular a la línea $l$, en el mismo lado de la línea $l$, y hay un par de soluciones: $$\begin{cases} x = x_1 \pm \sqrt{y_1 y_2} \\ y = \frac{y_1 + y_2}{2} \end{casos}$$

8. De lo contrario,, $y_1 \ne y_2$, $y_1 y_2 \gt 0$, y $x_1 \ne x_2$, y hay dos soluciones: $$\begin{cases} x = \frac{x_1 y_2 - x_2 y_1 + \sqrt{y_1 y_2 \left ( (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 \right )}}{y_2 - y_1} \\ y = \frac{(y_1 + y_2) \left ( (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 \right ) - (x_2 - x_1)\sqrt{y_1 y_2 \left ( (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 \right )}}{(y_2 - y_1)^2 } \end{casos}$$ y $$\begin{cases} x = \frac{x_1 y_2 - x_2 y_1 - \sqrt{y_1 y_2 \left ( (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 \right )}}{y_2 - y_1} \\ y = \frac{(y_1 + y_2) \left ( (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 \right ) + (x_2 - x_1)\sqrt{y_1 y_2 \left ( (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 \right )}}{(y_2 - y_1)^2 } \end{casos}$$ Si usted necesita para elegir sólo una de las soluciones, recomiendo elegir el uno con el mínimo de $y$ en magnitud, $\lvert y \rvert$, ya que la solución corresponde a la menor común de distancia.

Si hay una solución, puede utilizar $\eqref{NA3c}$ a convertir de nuevo a la original sistema de coordenadas.

Tenga en cuenta que los casos mencionados no se recomienda la aplicación de la orden; si robas los casos en un diagrama, verás que tienes un sencillo árbol de decisión. Como condicionales tienden a ser lentos para el hardware actual, la aplicación de un árbol de decisión (para encontrar la solución en el menor promedio y máxima pruebas condicionales) es recomendado.

También tenga en cuenta que he obtenido sobre el uso de soluciones de código libre y abierto de Sagemath, pero puede haber errores de transcripción. Si usted encuentra un error, o un punto sospechoso, por favor hágamelo saber en un comentario para que yo pueda comprobar y corregir.