$G$ grupo de orden $2p^m$, $N$ es un mínimo normal subgrupo, a continuación, $N\leq Z(S)$ donde $S \in Syl_p(G)$

Question

Supongamos $G$ es un grupo de orden $2p^m$ donde $p\geq 3$ es primo, $m >0$. Deje $N$ ser mínimo normal $p$-subgrupo de $G$. A continuación, $N$ está contenida en el centro de la $S$ donde $S \in \text{Syl}_p(G)$.

Me han demostrado que $G$ es solucionable, lo que significa que $G$ tiene un abelian de la serie, pero no sé cómo esto ayuda.

Sabemos que desde $|\text{Syl}_p(G)|\equiv 1 \mod p$ $|\text{Syl}_p(G)|$ debe dividir $2$,$|\text{Syl}_p(G)|=1$, lo que significa que $S$ es la única $p$-subgrupo de Sylow de $G$. Ahora $S$ es de orden $p^m$, lo $S$ debe ser nilpotent (otro hecho que no estoy seguro de si es útil o no). Desde $N$ $p$- subgrupo, debe ser en algunas de las $p$-subgrupo de Sylow de $G$, así que tiene que ser en $S$. Por lo tanto, $N\leq S$.

Quiero mostrar que la $N \leq Z(S)$. Yo no puedo ver cómo hacer esto directamente, así que tal vez puedo usar el minimality de $N$ que $N=N\cap Z(S)$. Mi problema es que no sé que $N$ es mínima en $G$, pero no necesariamente sé que $N$ es mínima en $S$.

Es posible que alguien me apunte en la dirección correcta? Muchas gracias.

Answer 1

Desde $S$ es el único Sylow $p$-subgrupo es normal en $G$, e $Z(S)$ es característico en $S$, lo $Z(S)$ es normal en $G$. Por lo tanto $N \cap Z(S)$ es normal en $G$.

Cualquier subgrupo normal de un $p$-grupo cruza el centro de ese $p$-grupo trivial, por lo $N \cap Z(S)$ es trivial, y, por tanto, $N \cap Z(S) = N$ por minimality de $N$.