Si usted tiene $a,b\in\mathbb{N}$ tal que $a^2+b^2=M$, hay otros números naturales $c,d$ tal que $c^2+d^2=M$? Si es así, hay un algoritmo para la generación de este tipo de parejas o una ecuación que relaciona a $a$$b$? Traté de jugar con un par de ideas usando la $\mathbb{Z[i]}$, pero en realidad no llegar a ninguna parte.
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brimstone
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Hay definitivamente $a,b,c,d\in\mathbb{N}$$a^2+b^2=c^2+d^2=M$. Considere la posibilidad de $2,9,6,$ y $7$. $2^2+9^2=85=6^2+7^2 $. Usted puede encontrar fácilmente estas buscando entero de soluciones para el conjunto de nivel de $a^2+(a+x)^2-(c^2+(c+y)^2)=0$ donde $x,y\in\mathbb{N}, x\neq y$. Entonces su $a,b$$c,d$$a,a+x$, e $c, c+y$
Consideremos la ecuación $$a^2+b^2=c^2+d^2\\ \implica a^2-c^2=c^2-b^2$$ Consulte la página 13 de aquí para una interpretación geométrica.
Deje $A+Bi=u,C+Di=v\in\mathbb{C}$. A continuación, puede mostrar que $|u\overline{v}|=|uv|$. Cuadrado ambos lados de la informática y de las normas para obtener $$(AC+BD)^2+(BC-AD)^2=(AC-BD)^2+(AD+BC)^2$$ Demostrando que para arbitrario $A,B,C,D$ debemos tener un bijection entre los conjuntos $$\{a,b,c,d\}\text{ and }\{AC+BD,BC-AD,AC-BD,AD+BC\}$$ Alternativamente, usted podría factor de $M$ como un producto de primos de Gauss, lo que nos permite producir fácilmente todas las representaciones de $M$ como una suma de dos cuadrados. Otra manera es utilizar Bramhagupta la identidad de ($(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ac-bd)^2$) repetidamente.
QuentinUK
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Los demás han amablemente respondió a su pregunta. Pero hay algo más que valga la pena decir. De acuerdo con un teorema de Jacobi, el número de soluciones a $x^2+y^2=M$ en números enteros es igual a ocho veces el número impar de divisores de a $M$ se $1$ mod $4$ menos de ocho veces el número impar de divisores de a $M$ se $3$ mod $4$. Uno se recupera como un caso particular del teorema de Fermat sobre la suma de dos cuadrados.
De este teorema se deduce del hecho de que la Dedekind zeta función de $\mathbf Q[i]$ es igual a $\zeta(s)L(\chi,s)$ donde $\chi$ es la primitiva cuadrática carácter de director de orquesta $4$.
(La razón para el factor de $8$ es que las soluciones que ocurren generalmente en "octopules": $(x,y),(y,x),(-x,y),(x,-y),...$).
