Para $9, 99, 999, 9999, 99999,\dots$, con la excepción de $9$, son el resto de los números de $9$'s de los cuadrados perfectos? Hay otros cuadrados perfectos con todos los $9$'s.
Este problema se da para los estudiantes de K-12, que no tengo ninguna idea de cómo hacerlo.
Gracias.
Tenga en cuenta estas cifras módulo 4.
Teorema:
Un número $n^2$ $n$ un entero que satisface cualquiera de las $n^2\equiv 0(\text{mod}4)$ o $n^2\equiv 1(\text{mod}4)$
La prueba del teorema:
Caso 1: $n\equiv 0$ o $2(\text{mod}4)$. A continuación, $n^2\equiv 0(\text{mod}4)$
Caso 2: $n\equiv 1(\text{mod}4)$. A continuación, $n^2\equiv 1(\text{mod}4)$
Caso 3: $n\equiv 3(\text{mod}4)$. A continuación, $n^2\equiv 1(\text{mod}4)$
Corolario:
Un número que es $2(\text{mod}4)$ o $3(\text{mod}4)$ no puede ser un cuadrado perfecto.
Ahora, mira a $9\dots 99(\text{mod}4)$
Un número modulo 4 es congruente a los dos dígitos finales del modulo 4, y $99(\text{mod}4)$ es congruente a $3$, por lo tanto no es un cuadrado perfecto.
No hay un montón de herramientas en el K-12 para este problema, por lo que el uso de la más simple: tomar el último de varios dígitos. El último dígito es un cuadrado, así que busque en los dos dígitos finales.
No es cuadrado perfecto que termina en 99
porque
cualquier cuadrado perfecto, deja un resto de 0 o 1 cuando se divide por 4
Todos los números enteros puede ser escrito como $10n\pm k$ donde $0\le k\le5$. Cuadrado, tenemos $100n^2\pm20nk+k^2$, que para $0\le k^2<10\iff0\le k\le3$ tiene un dígito de las decenas, y las dos opciones restantes no producen un $9$ en la última posición. $($En general, no "repdigit" en base a $10$ nunca puede ser un cuadrado$)$.
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