Las integrales de las funciones Trigonométricas

Question

Mostrar que

$$\int^\pi_0 \frac{\sqrt{1+\cos x}}{\sqrt{1+\cos x}+\sqrt{1-\cos x}}\,dx =\int^\pi_0 \frac{\sqrt{1-\cos x}}{\sqrt{1+\cos x}+\sqrt{1-\cos x}}\,dx$$

He intentado utilizar para comprobar si

$$\int^\pi_0\left(\frac{\sqrt{1+\cos x}}{\sqrt{1+\cos x}+\sqrt{1-\cos x}} - \frac{\sqrt{1-\cos x}}{\sqrt{1+\cos x}+\sqrt{1-\cos x}}\right)\,dx=0$$

pero no resultó así.

Por favor, ayudar.

Answer 1

SUGERENCIA: Sustituya $u=\pi-x$ en la primera integral.

Answer 2

Su idea en realidad funciona, sólo tienes que seguir. Abreviar $\cos x$ $c$(e $\sin x$$s$), tenemos

$${\sqrt{1+c}-\sqrt{1-c}\over\sqrt{1+c}+\sqrt{1-c}}={(\sqrt{1+c}-\sqrt{1-c})^2\over(1+c)-(1-c)}={1+c-2\sqrt{1-c^2}+1-c\over2c}={1-s\over c}={c\over1+s}$$

(NB: $\sqrt{1-c^2}=s$ tiene el signo correcto, ya que $s=\sin x\ge0$$0\le x\le\pi$.) La sustitución $u=1+\sin x$, $du=\cos x\ dx$ da

$$\int_0^\pi{\sqrt{1+\cos x}-\sqrt{1-\cos x}\over\sqrt{1+\cos x}+\sqrt{1-\cos x}}dx=\int_0^\pi{\cos x\ dx\over1+\sin x}=\int_1^1{du\over u}=0$$

Answer 3

SUGERENCIA:

Uso $$\int_a^bf(x)\ dx=\int_a^bf(a+b-x)\ dx$$ which can be derived using $a+b-x=y$

y $\cos(\pi-x)=-\cos x$

Answer 4

El punto sería que la integral de la primera función de $0$ $\pi/2$es igual a la integral de la segunda función de $\pi/2$ $\pi$y vice-versa. \begin{align} & \int_{x=0}^{x=\pi/2} \Big(\text{some function of } \cos x\Big)\,dx \\[6pt] = {} & \int_{u=\pi}^{u=\pi/2} \Big(\text{the same function of }\cos (\pi-u)\Big)\,(-du) \\[6pt] = {} & \int_{u=\pi}^{u=\pi/2} \Big(\text{the same function of }(-\cos u)\Big)\,(-du) \\[6pt] = {} & \int_{\pi/2}^\pi \Big(\text{the same function of }(-\cos u)\Big)\,du \\[6pt] = {} & \int_{\pi/2}^\pi \Big(\text{the same function of }(-\cos x)\Big)\,dx \end{align}

Answer 5

Sugerencia:

$$\frac{\sqrt{1+\cos x}}{\sqrt{1+\cos x}+\sqrt{1-\cos x}}=\frac1{2\cos x}+\frac12-\frac12\tan x$$