Galois grupo de un capicúa polinomio no es $S_n$?

Question

Deje $f(x) = a_nx^n+\cdots+a_0 \in \mathbb{Q}[x]$ ser un capicúa polinomio; es decir, los coeficientes de $f$ satisfacer $a_n = a_0$, $a_{n-1} = a_1$, y, más generalmente, $a_{n-i} = a_i$ todos los $0\leq i\leq n$. Es cierto que si $n > 2$, entonces el grupo de Galois de $f$ (es decir, el grupo de $Gal(K/Q)$ donde $K$ es una división de campo de la $f$) no es $S_n$ ?

Answer 1

Esto es realmente muy divertido. Entonces, la razón para esto es que un capicúa polinomio es simétrico bajo exchange $r \to r^{-1}$ ( $p(r) = p(r^{-1})$ ) si $p(r) = 0$. Esto implica que para todos los $s \in G \subseteq S_n$ tenemos que $s(a)s(a^{-1}) = 1$ y por lo tanto sabemos que, por ejemplo, uno no puede mandar a $a$ a su inverso, mientras que el envío de $a^{-1}$ a otra raíz, y por tanto, para polinomios de tamaño, al menos, $3$ tenemos que $(a, a^{-1}, b)$, $b \neq a$ no es un posible elemento del grupo de Galois.

Answer 2

Sí. Este es el caso.

Si $n$ es incluso, decir $n=2m$, entonces podemos hacer lo siguiente. Inducción en $m$ muestra que existe un polinomio $g(x)\in\Bbb{Q}[x]$ grado $m$ tal que $$ x^{m}f(x)=g(x+\frac1x). $$ A continuación, obtener la división de campo de $L$ $f$ (dentro de $\Bbb{C}$) como sigue. Vamos $\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_m$ ser los ceros de $g(x)$. A continuación, $K=\Bbb{Q}(\beta_1,\ldots,\beta_m)$ es una división de campo de la $g$, y el habitual argumento muestra que el $[K:\Bbb{Q}]\le m!$. Si denotamos por a $\alpha_i$ $\alpha_{i+m}$ las soluciones de $$ x+\frac1x=\beta_i,\qquad(*) $$ $i=1,2,\ldots,m$, entonces los números de $\alpha_i,i=1,\ldots,n$, son los ceros de $f$. Como $\beta_i=\alpha_i+1/\alpha_i$ todos los $i=1,\ldots,n$, vemos que

• $K\subset L=\Bbb{Q}(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)$, y
• $L=K(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m)$.

Así, obtenemos $L$ colindando cuidadosamente seleccionados, la mitad de los ceros de $f$$K$. Pero las ecuaciones $(*)$ son todos cuadrática. Por lo tanto,$[L:K]\le 2^m$.

En consecuencia $$ [L:\Bbb{Q}]\le 2^m\cdot m!. $$ Como $2^m\cdot m!<(2m)!$ al $m>1$, podemos concluir que el grupo de Galois de $f$ debe ser una adecuada subgrupo de $S_{2m}=S_n$.

Si $n$ es impar, entonces el capicúa condición implica que $f(-1)=0$. Por lo tanto, $f$ no puede ser irreductible, y por lo tanto, podemos concluir que su grupo de Galois es un buen subgrupo de $S_n$.