¿Qué es un ejemplo de un presheaf P donde P^+ no es una gavilla, sólo separados presheaf?

Question

Hay una forma estándar para la construcción de la sheafification de un presheaf en una topología de Grothendieck que implica la concordancia de las familias. Los detalles se pueden encontrar aquí:

http://ncatlab.org/nlab/show/matching+familia

En resumen, no es un functor + envío presheaves separados presheaves y, a continuación, separados presheaves a las poleas. Entonces, P^++ es siempre una gavilla.

Gelfand/Manin Métodos de Álgebra Homológica tiene un mal prueba de que P^+ es una gavilla, y he visto en varios lugares, una prueba de que P^++ es una gavilla. Sin embargo, parece que para cualquier presheaf P me encuentro, P^+ es ya una gavilla.

¿Alguien sabe un ejemplo de un presheaf P donde P^+ no es una gavilla es decir, donde realmente se necesitan para aplicar el functor + dos veces para obtener una gavilla?

Answer 1

No he revisado cuidadosamente, que me quieren decir la misma cosa por + como tú, pero creo que en el siguiente ejemplo funciona.

Tomar X={p,q} con la topología discreta, sea S un conjunto con |S|>1, y sea F la constante presheaf que devuelve S para cualquier subconjunto abierto de X (y todas las restricciones son los mapas de identidad). En particular, F(∅)=S.

Entonces es fácil ver que F⁺⁺(X)=SxS, pero afirman que F⁺(X)=S. Para ver esto, suponga que tiene dos secciones s∈S=F({p}) y s'∈S=F({p}). Estas sección "están de acuerdo en las intersecciones" sólo si sus restricciones en F({p}∩{p})=F(∅)=S de acuerdo (es decir, sólo si s=s').

Tenga en cuenta que F⁺(∅) es un conjunto de puntos debido a que ∅ es cubierto por el vacío de la cubierta (una cubierta no establece, ni siquiera ∅), y cualquiera de las dos secciones de F(∅) de acuerdo a la portada de este, así que cuando usted toma F⁺⁺, este problema no vuelva a suceder.

Answer 2

Un ejemplo se da en MacLane "Gavillas en la Geometría y la Lógica." Considerar la constante presheaf en un espacio de $X$ $P(U) = S$ donde $S$ es un conjunto con más de un elemento y mapas de restricción son las identidades. El plus de la construcción no cambia nada excepto que $P(0) = 0$, y se puede demostrar fácilmente que esto no es una gavilla.

En general, es cierto que el plus de construcción de turnos separados presheaves en poleas y cualquier presheaf en un separado presheaf; por lo tanto ++ = sheafification.

Answer 3

Anton ejemplo puede ser modificado para evitar el "conjunto vacío". He aquí una manera: sea X la categoría asociada al conjunto parcialmente ordenado

a ≤ b ≤ c ≤ e

b ≤ d ≤ e

Dar a este el mínimo de la topología en la cual c y e de la cubierta d y un cubre b. Sea F la presheaf con F(a) = 1, F(b) = F(c) = F(d) = S, F(e) = ∅. Entonces F⁺(b) = 1, F⁺(c) = F⁺(d) = F⁺(e) = S. Esto no es una gavilla, ya que F⁺⁺(e) = S x S.

Por supuesto, todo lo que he hecho es introducir un objeto para jugar el papel de los vacíos de cobertura en Anton ejemplo. Es probablemente vale la pena destacar, sin embargo, que lo que hace el vacío conjunto vacío (desde el punto de vista de las poleas) es que es cubierto por el vacío de la cubierta. De hecho, la costumbre, la topología en la categoría de abrir los subconjuntos de {p,q} puede ser modificado de manera que el vacío subconjunto no está cubierto por el vacío de la cubierta. Con respecto a esta topología, la presheaf F que Anton definido es ya una gavilla.

Answer 4

Creo que esto funciona:

Considere la posibilidad de un espacio topológico que consta de 4 puntos $A$, $B$, $C$, $D$, donde la topología está dado por la apertura de los conjuntos de $ABC$, $BCD$, $B$, $C$, $ABCD$, $\emptyset$.

Luego vamos a la presheaf $\mathcal{F}$ dado por: $$\mathcal{F}(ABC)=\mathbb{Z}$$ $$\mathcal{F}(BCD)=\mathbb{Z}$$ $$\mathcal{F}(BC)=\mathbb{Z}$$ $$\mathcal{F}(ABCD)=\mathbb{Z}$$ $$\mathcal{F}(B)=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$$ $$\mathcal{F}(C)=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$$ $$\mathcal{F}(\emptyset)=0$$

donde todas las restricciones son de lo esperado (identidad, en el caso de $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ y canónica surjection en el caso de $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/2 \mathbb{Z}$).

Luego, si nos llegamos $\mathcal{F}^+$ está dada por:

$$\mathcal{F}^+(ABC)=\mathbb{Z}$$ $$\mathcal{F}^+ (BCD)=\mathbb{Z}$$ $$\mathcal{F}^+ (BC)= \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$$ $$\mathcal{F}^+ (ABCD)=\mathbb{Z}$$ $$\mathcal{F}^+ (B)= \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} $$ $$\mathcal{F}^+ (C)=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$$ $$\mathcal{F}^+ (\emptyset)=0$$

donde el mapa de $\mathcal{F}^+ (BCD)$ $\mathcal{F}^+ (BC)$está dado por tomar la canónica surjection en ambas copias, y otras restricciones son evidentes. A continuación, tenga en cuenta que si tenemos más de 1 $BCD$ y 3 $ABC$, estos dos son compatibles en $BC$ pero no el parche.

El punto clave es que siendo compatible con más de un refinamiento no es la misma cosa que ser compatible. Es decir, la forma en que el plus de las obras de construcción está llevando $F^+$ de un espacio para ser un límite a más de abra las cubiertas de los chicos en las cubiertas que son compatibles en las intersecciones. Si se había dicho, en lugar de asumir directa límite a más de abra las cubiertas de los chicos en las cubiertas que sea compatible con un cierto refinamiento de la intersección, a continuación, aplicar sólo una vez, probablemente trabaja.

Así, en nuestro ejemplo, 1 y 3,$ABC$$BCD$, en nuestro original presheaf eran compatibles en un refinamiento de la $BC$, pero no en $BC$.