Es la contracción de una forma armónica armónica?

Question

Como todavía soy un principiante en el complejo de la geometría diferencial, tan pronto como he tratado de leer un artículo que me ha quedado en lo que (creo que) debe ser un detalle menor. Espero que alguien me pueda ayudar un poco.

Deje $M$ ser un complejo colector de la compleja dimensión de $m$, y deje $g$ ser un Kähler métrica en $M$ con Kähler forma $\omega$ y Ricci forma $\rho$.

Deje $h=h_{i\bar{j}}dz^{i}\wedge d\bar{z}^{j}$ ser la armónica parte de $\rho$ en la descomposición de Hodge para $\bigwedge\nolimits^{1,1}M$. Puedo concluir que la función de $\varphi=g^{i\bar{j}}h_{i\bar{j}}$ también es armónico?

Creo que la respuesta debe ser "sí", pero yo estoy luchando para demostrarlo. Hasta ahora he razonado de la siguiente manera: desde $\varphi$ es una función, es suficiente para demostrar que $d\varphi=0$; además de las funciones que saber que $d=\nabla$ si $\nabla$ es la de Levi-Civita (o Chern) conexión en $M$. Desde $g$ $\nabla$- paralelo tenemos, para cada $a=1,\dots,m,\bar{1},\dots,\bar{m}$ $$\nabla_a(g^{i\bar{j}}h_{i\bar{j}})=(\nabla_ag^{i\bar{j}})h_{i\bar{j}}+g^{i\bar{j}}(\nabla_ah_{i\bar{j}})=g^{i\bar{j}}(\nabla_ah_{i\bar{j}})$$ así que para demostrar que $\varphi$ es armónico es suficiente para demostrar que $h$ es paralelo.

Sin embargo, no veo por qué esto debe ser así. Podría alguien por favor decirme lo que me falta? Cualquier ayuda es muy apreciada.

edit: Ya que hay diferentes nociones de "Laplaciano" en un Kähler colector debería haber especificado que el Laplaciano lo que estoy hablando aquí es la de Hodge Laplaciano, $\Delta:=\bar{\partial}^*\bar{\partial}+\bar{\partial}\bar{\partial}^*$ donde $\bar{\partial}^*$ es el adjunto de a $\bar{\partial}$.

Answer 1

Creo que he encontrado la respuesta a mí mismo, voy a escribir aquí para que la gente pueda me corrija si estoy equivocado.

Uno de los varios Kähler identidades dice que $$[\Lambda,\mathrm{d}]=-\delta^{\mathrm{c}}$$ donde

1. $\Lambda$ es la formal adjunto de la Lefschetz operador, el cual es definido por $L(\eta)=\omega\wedge\eta$;

2. $[\Lambda,\mathrm{d}]$ , es habitual el conmutador de dos operadores $\Lambda$$\mathrm{d}$;

3. $\delta^{\mathrm{c}}$ es la formal adjunto de la trenzado diferencial $\mathrm{d}^{\mathrm{c}}=\mathrm{i}(\bar{\partial}-\partial)$.

Podemos usar esta identidad para resolver mi pregunta. De hecho, si $\alpha=\alpha_{i\bar{j}}\mathrm{d}z^i\wedge\mathrm{d}\bar{z}^j$ $(1,1)$- formulario a continuación, es bastante fácil de calcular $$\Lambda(\alpha)=g^{i\bar{j}}\alpha_{i\bar{j}}.$$ En particular, si $\alpha$ está cerrado $$[\Lambda,\mathrm{d}](\alpha)=-\mathrm{d}\left(\Lambda(\alpha)\right)=-\mathrm{d}\left(g^{i\bar{j}}\alpha_{i\bar{j}}\right)$$ así que para un cierre $(1,1)$forma $\alpha$ el Kähler identidad recordó anterior, dice que el $\alpha$ es armónica si y sólo si $g^{i\bar{j}}\alpha_{i\bar{j}}$ es una constante.