Mostrar que hay exactamente cuatro soluciones a $x^{4} \equiv 1$ mod $p^{n}$

Question

en $\mathbb{Z}/p^n$ donde $p \equiv 1$ mod $4$

Me han dicho como una "sugerencia" para usar el isomorfismo $\mathbb{Z}/p^n \cong \mathbb{F}^\times_{p} \times \mathbb{Z}/p^{n-1}$ pero no entiendo cómo esto va a ayudar?

Yo también necesita mostrar que para cualquier $a\in (\mathbb{Z}/p^n)^\times$ el número de soluciones de la siguiente congruencia es de 0 o 4.

$x^{4} \equiv a$ mod $p^{n}$

Los punteros sería muy apreciada.

Answer 1

Para $\;n=1\;$ tenemos

$$x^4=1\iff (x-1)(x+1)(x^2+1)=0$$

y desde $\;p=1\pmod 4\;$ podemos escribir $\;x^2+1\;$ como producto de dos lineal de los polinomios.

Por lo tanto, tenemos cuatro diferentes soluciones de $\;x^4-1=0\pmod p\;$ , y desde $\;4\omega^3\neq0\;\;,\;\;w\;$ una solución de $\;x^4-1=0\pmod p\;$ , podemos aplicar Hensel del Lema y la elevación de cada solución en una única solución de $\;\pmod {p^n}\;,\;\;n\in\Bbb N\;$

Answer 2

Se puede demostrar que $-1$ es un cuadrado de $\pmod p$ al $p\equiv 1 \pmod 4$. Esto demuestra la declaración de $n=1$. Puede utilizar la inducción. Si $\alpha$ es una raíz de $n$, buscar la raíz de $n+1$ entre $\alpha+kp^n$, $0\leq k \leq p-1$.